Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2752
2019-04-29 
а) Доказать, что отличное от нуля целое число не может быть меньше в 2, 3, 6, 7 или 8 раз своего обращенного (т. е. числа, состоящего из тех же цифр, записанных в обратном порядке).
б)* Найти все целые числа, которые в 4 раза или в 9 раз меньше своего обращенного.
Решение:
а) По условию задачи имеем:
$\overline {xy \cdots zt} \cdot a = \overline {tz \cdots yx}$,
где $а$ есть одно из чисел 2, 3, 5, 6, 7 или 8.
Если $а = 5$, то $x$ должно равняться 1, так как иначе число $\overline {xy \cdots zt} \cdot 5$ будет иметь больше цифр, чем $\overline {xy \cdots zt}$ (случай $x = 0$ исключаем, так как в этом случае $\overline {y \cdots zt} = 2 \cdot \overline {tz \cdots y}$, т. е. мы приходим к той же задаче с $а = 2$). Но число $\overline {tz \cdots y1}$ не может делиться на 5. Аналогично доказываем, что $а$ не может быть равно 6 или 8.
Если $а = 7$, то $x$ тоже должно равняться 1. Но в таком случае $t$ должно равняться трем, - $\overline {1y \cdots z3} \cdot 7$ не будет оканчиваться цифрой 1. А равенство $\overline {1y \cdots z3} \cdot 7 = \overline {3z \cdots y1}$ очевидно, является абсурдным (левая часть равенства явно больше правой).
Если $а = 2$, то $x$ не может быть больше 4. А так как число $\overline {tz \cdots yx} $ в этом случае четно, то $x$ должно быть разно 2 или 4. Но при $x = 4$ цифра $t$ (первая цифра числа $\overline {4y \cdots zt} \cdot 2$) может быть равна только 8 или 9, а ни $\overline {4y \cdots z8} \cdot 2$, ни $\overline {4y \cdots z9} \cdot 2$ не могут оканчиваться на 4. Если $x = 2$, то $t$ (первая цифра числа $\overline {2y \cdots zt} \cdot 2$) может быть равна только 4 или 5; но ни $\overline {2y \cdots z4} \cdot 2$, ни $\overline {2y \cdots z5} \cdot 2$ не могут оканчиваться на 2.
Наконец, если $а = 3$, то $x$ не может быть больше 3. Если $x = 1$, то $t$ должно быть равно 7 ($t \cdot 3$ оканчивается на 1); если $x = 2$, то $t$ должно быть равно 4; если $x = 3$, то $t$ должно быть равно 1. Но в первом случае $\overline {tz \cdots ух}$ больше, чем $\overline {xy \cdots zt} \cdot 3$, а во втором и в третьем - меньше.
б) Пусть $\overline {xy \cdots zt}$ - такое число, тогда
$\overline {xy \cdots zt} \cdot 4 = \overline {tz \cdots yx}$.
Так, как $\overline {xy \cdots zt \cdot 4}$ имеет то же число цифр, что и $\overline {xy \cdots zt}$, то $x$ может быть равен лишь 0, 1 или 2; так как $\overline {tz \cdots yx}$ делится на 4, то $x$ должен быть четным. Следовательно, $x$ может быть равен 0 или 2.
Пусть $x = 0$. Очевидно, что число 0 обладает требуемым свойством. Будем допускать десятичные записи, в начале которых может стоять один или несколько нулей. Тогда мы имеем $\overline {у \cdots zt} \cdot 4 = \overline {tz \cdots y0}$, откуда $t = 0$ (ибо $t < 4$) и $\overline {у \cdots z} \cdot 4 = \overline {z \cdots y}$: если число обладает требуемым свойством и начинается нулем, то оно оканчивается также нулем, и число, которое получится, если мы зачеркнем первый и последний нули, также будет обладать требуемым свойством.
Поэтому достаточно рассмотреть случай $x = 2$. Тогда имеем $\overline {2y \cdots zt} \cdot 4 = \overline {tz \cdots y2}$. Ввиду того что $2 \cdot 4 = 8$, $t$ может быть равно лишь 8 или 9. Но произведение $t \cdot 4$ оканчивается на 2; следовательно, $t = 8$, т. е. можно написать $\overline {2y \cdots z8} \cdot 4 = \overline {8z \cdots y2}$. Так как $23 \cdot 4 > 90$, $у$ может быть равно лишь 0, 1 или 2; но при любом $z$ в произведении $\overline {z8} \cdot 4$ цифра десятков нечетная. Следовательно, $у = 1$. Так как нам известны две последние цифры произведения $\overline {2y \cdots z8} \cdot 4$, то для предпоследней цифры $z$ этого числа остаются лишь две возможности: $z$ может быть равно лишь 2 или 7. Но $21 \times 4 > 82$, значит, $z = 7$.
Итак, наше число, имеет вид $\overline {21 \cdots 78}$. Если оно четырехзначно, то мы получаем число 2178, удовлетворяющее условию задачи. Рассмотрим теперь случай, когда число цифр рассматриваемого числа больше 4. В этом случае имеем:
$\overline {21 uv \cdots rs78} \cdot 4 = \overline {87 sr \cdots vu12}$,
или после очевидных преобразований
$84 \cdot 10^{k+2} + 312 + \overline {uv \cdots rs00} \cdot 4 = 87 \cdot 10^{k+2} + 12 + \overline {sr \cdots vu00}, \overline {uv \cdots rs \cdot 4} + 3 = \overline {3sr \cdots vu}$.
Так как число $\overline {uv \cdots rs}$ при умножении на 4 дает число, имеющее больше цифр, чем оно само, и при этом начинающееся с цифры 3 (или, в крайнем случае, с комбинации цифр 29), то и может быть равно только 9, 8 или 7. Так как $\overline {3sr \cdots vu}$ и нечетно, то и может быть равно только 9 или 7. Рассмотрим эти случаи последовательно.
1. $u = 9$. В таком случае, очевидно, получаем:
$\overline {9v \cdots rs} + 3 = \overline {3sr \cdots v9}$,
откуда следует, что $s = 9$ ($s \cdot 4$ оканчивается на 6; если $s = 4$, то $\overline {34r \cdots v9}$ меньше, чем $\overline {9v \cdots r4} \cdot 4 + 3$ и
$\overline {9v \cdots r9} \cdot 4 + 3 = \overline {39r \cdots v9}, \overline {v \cdots r} \cdot 4 + 3 = \overline {3r \cdots v}$,
т. е. число, получаемое из $\overline {uv \cdots rs}$ отбрасыванием цифры 9 в начале и в конце, обладает тем же свойством, что и само число $\overline {uv \cdots rs}$. В частности, $\overline {uv \cdots rs}$ может равняться 9, 99, 999, и т. д.; при этом мы получаем числа
$21 978,219 978,2 199 978, \cdots$,
удовлетворяющие условию задачи.
2. $u = 7$. В этом случае имеем:
$\overline {7v \cdots rs} \cdot 4 = \overline {3sr \cdots v7}$,
откуда аналогично тому, как мы рассуждали в начале решения задачи, легко получить, что $s=1$; $v=8$; $r=2$, т. е. что число $\overline {uv \cdots rs}$ имеет вид $\overline {78 \cdots 21}$ и что число, которое получается из $\overline {uv \cdots rs}$ отбрасыванием 78 в начале и 21 в конце, в 4 раза меньше своего обращенного.
Отсюда видно, что если число, в 4 раза меньшее своего обращенного, отлично от чисел ряда
$0,2178, 21978, 219978, \cdots, \underbrace{2199 \cdots 978}_{k \:цифр}, \underbrace{2199 \cdots 9978}_{(k+1) \:цифр}, \cdots$ (*)
то в начале и в конце его стоит одна и та же последовательность цифр, составляющих одно из чисел этого ряда, и если зачеркнуть эти цифры (и в начале и в конце), то получится также число, в 4 раза меньшее своего, обращенного, или, как в случае числа 21 782 178, при этом будут зачеркнуты все цифры нашего числа.
Поэтому десятичная запись любого числа, в 4 раза меньшего своего обращенного, имеет вид
$P_1P_2 \cdots P_{n-1}P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1$
или же
$P_1P_2 \cdots P_{n-1}P_nP_nP_{n-1} \cdots P_2P_1$,
где $P_1, P_2, \cdots, P_n$ - последовательности цифр, составляющие какие-либо числа из написанного выше ряда (*). Таковы, например, числа:
2 197 821 978, 2 199 782 178 219 978,
21 978 021 997 800 219 978 021 978, 02 199 999 780
(последнее число следует считать решением задачи, если условиться, что можно в начале десятичной записи числа ставить 0).
Аналогично доказывается, что все числа, в 9 раз меньшие своего обращенного, получаются из чисел ряда
$0, 1089, 10989, 109989, \cdots, \underbrace{1099 \cdots 989}_{k \:раз}, \underbrace{1099 \cdots 9989}_{(k+1) \:раз}, \cdots$
таким же образом, как и числа, в 4 раза меньшие своего обращенного, получаются из чисел ряда (*).
Ответ: а) Число, меньшее своего обращенного в 5, 6, 8 или 7 раз, должно начинаться с цифры 1; число, меньшее своего обращенного в 2 и 3 раза, может начинаться с цифр 1, 2, 3, 4, соответственно 1, 2, 3. б) Числа, в 4 раза меньшие своего обращенного,- это числа $0, 2 178, 21 978, 219 978, 2 199 978, \cdots$.(*) и числа, десятичная запись которых $P_1P_2, \cdots, P_{n-1}P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1$, где $P_1, P_2, \cdots, P_n$ - какие-то числа ряда (*).
а) Доказать, что отличное от нуля целое число не может быть меньше в 2, 3, 6, 7 или 8 раз своего обращенного (т. е. числа, состоящего из тех же цифр, записанных в обратном порядке).
б)* Найти все целые числа, которые в 4 раза или в 9 раз меньше своего обращенного.
Решение:
а) По условию задачи имеем:
$\overline {xy \cdots zt} \cdot a = \overline {tz \cdots yx}$,
где $а$ есть одно из чисел 2, 3, 5, 6, 7 или 8.
Если $а = 5$, то $x$ должно равняться 1, так как иначе число $\overline {xy \cdots zt} \cdot 5$ будет иметь больше цифр, чем $\overline {xy \cdots zt}$ (случай $x = 0$ исключаем, так как в этом случае $\overline {y \cdots zt} = 2 \cdot \overline {tz \cdots y}$, т. е. мы приходим к той же задаче с $а = 2$). Но число $\overline {tz \cdots y1}$ не может делиться на 5. Аналогично доказываем, что $а$ не может быть равно 6 или 8.
Если $а = 7$, то $x$ тоже должно равняться 1. Но в таком случае $t$ должно равняться трем, - $\overline {1y \cdots z3} \cdot 7$ не будет оканчиваться цифрой 1. А равенство $\overline {1y \cdots z3} \cdot 7 = \overline {3z \cdots y1}$ очевидно, является абсурдным (левая часть равенства явно больше правой).
Если $а = 2$, то $x$ не может быть больше 4. А так как число $\overline {tz \cdots yx} $ в этом случае четно, то $x$ должно быть разно 2 или 4. Но при $x = 4$ цифра $t$ (первая цифра числа $\overline {4y \cdots zt} \cdot 2$) может быть равна только 8 или 9, а ни $\overline {4y \cdots z8} \cdot 2$, ни $\overline {4y \cdots z9} \cdot 2$ не могут оканчиваться на 4. Если $x = 2$, то $t$ (первая цифра числа $\overline {2y \cdots zt} \cdot 2$) может быть равна только 4 или 5; но ни $\overline {2y \cdots z4} \cdot 2$, ни $\overline {2y \cdots z5} \cdot 2$ не могут оканчиваться на 2.
Наконец, если $а = 3$, то $x$ не может быть больше 3. Если $x = 1$, то $t$ должно быть равно 7 ($t \cdot 3$ оканчивается на 1); если $x = 2$, то $t$ должно быть равно 4; если $x = 3$, то $t$ должно быть равно 1. Но в первом случае $\overline {tz \cdots ух}$ больше, чем $\overline {xy \cdots zt} \cdot 3$, а во втором и в третьем - меньше.
б) Пусть $\overline {xy \cdots zt}$ - такое число, тогда
$\overline {xy \cdots zt} \cdot 4 = \overline {tz \cdots yx}$.
Так, как $\overline {xy \cdots zt \cdot 4}$ имеет то же число цифр, что и $\overline {xy \cdots zt}$, то $x$ может быть равен лишь 0, 1 или 2; так как $\overline {tz \cdots yx}$ делится на 4, то $x$ должен быть четным. Следовательно, $x$ может быть равен 0 или 2.
Пусть $x = 0$. Очевидно, что число 0 обладает требуемым свойством. Будем допускать десятичные записи, в начале которых может стоять один или несколько нулей. Тогда мы имеем $\overline {у \cdots zt} \cdot 4 = \overline {tz \cdots y0}$, откуда $t = 0$ (ибо $t < 4$) и $\overline {у \cdots z} \cdot 4 = \overline {z \cdots y}$: если число обладает требуемым свойством и начинается нулем, то оно оканчивается также нулем, и число, которое получится, если мы зачеркнем первый и последний нули, также будет обладать требуемым свойством.
Поэтому достаточно рассмотреть случай $x = 2$. Тогда имеем $\overline {2y \cdots zt} \cdot 4 = \overline {tz \cdots y2}$. Ввиду того что $2 \cdot 4 = 8$, $t$ может быть равно лишь 8 или 9. Но произведение $t \cdot 4$ оканчивается на 2; следовательно, $t = 8$, т. е. можно написать $\overline {2y \cdots z8} \cdot 4 = \overline {8z \cdots y2}$. Так как $23 \cdot 4 > 90$, $у$ может быть равно лишь 0, 1 или 2; но при любом $z$ в произведении $\overline {z8} \cdot 4$ цифра десятков нечетная. Следовательно, $у = 1$. Так как нам известны две последние цифры произведения $\overline {2y \cdots z8} \cdot 4$, то для предпоследней цифры $z$ этого числа остаются лишь две возможности: $z$ может быть равно лишь 2 или 7. Но $21 \times 4 > 82$, значит, $z = 7$.
Итак, наше число, имеет вид $\overline {21 \cdots 78}$. Если оно четырехзначно, то мы получаем число 2178, удовлетворяющее условию задачи. Рассмотрим теперь случай, когда число цифр рассматриваемого числа больше 4. В этом случае имеем:
$\overline {21 uv \cdots rs78} \cdot 4 = \overline {87 sr \cdots vu12}$,
или после очевидных преобразований
$84 \cdot 10^{k+2} + 312 + \overline {uv \cdots rs00} \cdot 4 = 87 \cdot 10^{k+2} + 12 + \overline {sr \cdots vu00}, \overline {uv \cdots rs \cdot 4} + 3 = \overline {3sr \cdots vu}$.
Так как число $\overline {uv \cdots rs}$ при умножении на 4 дает число, имеющее больше цифр, чем оно само, и при этом начинающееся с цифры 3 (или, в крайнем случае, с комбинации цифр 29), то и может быть равно только 9, 8 или 7. Так как $\overline {3sr \cdots vu}$ и нечетно, то и может быть равно только 9 или 7. Рассмотрим эти случаи последовательно.
1. $u = 9$. В таком случае, очевидно, получаем:
$\overline {9v \cdots rs} + 3 = \overline {3sr \cdots v9}$,
откуда следует, что $s = 9$ ($s \cdot 4$ оканчивается на 6; если $s = 4$, то $\overline {34r \cdots v9}$ меньше, чем $\overline {9v \cdots r4} \cdot 4 + 3$ и
$\overline {9v \cdots r9} \cdot 4 + 3 = \overline {39r \cdots v9}, \overline {v \cdots r} \cdot 4 + 3 = \overline {3r \cdots v}$,
т. е. число, получаемое из $\overline {uv \cdots rs}$ отбрасыванием цифры 9 в начале и в конце, обладает тем же свойством, что и само число $\overline {uv \cdots rs}$. В частности, $\overline {uv \cdots rs}$ может равняться 9, 99, 999, и т. д.; при этом мы получаем числа
$21 978,219 978,2 199 978, \cdots$,
удовлетворяющие условию задачи.
2. $u = 7$. В этом случае имеем:
$\overline {7v \cdots rs} \cdot 4 = \overline {3sr \cdots v7}$,
откуда аналогично тому, как мы рассуждали в начале решения задачи, легко получить, что $s=1$; $v=8$; $r=2$, т. е. что число $\overline {uv \cdots rs}$ имеет вид $\overline {78 \cdots 21}$ и что число, которое получается из $\overline {uv \cdots rs}$ отбрасыванием 78 в начале и 21 в конце, в 4 раза меньше своего обращенного.
Отсюда видно, что если число, в 4 раза меньшее своего обращенного, отлично от чисел ряда
$0,2178, 21978, 219978, \cdots, \underbrace{2199 \cdots 978}_{k \:цифр}, \underbrace{2199 \cdots 9978}_{(k+1) \:цифр}, \cdots$ (*)
то в начале и в конце его стоит одна и та же последовательность цифр, составляющих одно из чисел этого ряда, и если зачеркнуть эти цифры (и в начале и в конце), то получится также число, в 4 раза меньшее своего, обращенного, или, как в случае числа 21 782 178, при этом будут зачеркнуты все цифры нашего числа.
Поэтому десятичная запись любого числа, в 4 раза меньшего своего обращенного, имеет вид
$P_1P_2 \cdots P_{n-1}P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1$
или же
$P_1P_2 \cdots P_{n-1}P_nP_nP_{n-1} \cdots P_2P_1$,
где $P_1, P_2, \cdots, P_n$ - последовательности цифр, составляющие какие-либо числа из написанного выше ряда (*). Таковы, например, числа:
2 197 821 978, 2 199 782 178 219 978,
21 978 021 997 800 219 978 021 978, 02 199 999 780
(последнее число следует считать решением задачи, если условиться, что можно в начале десятичной записи числа ставить 0).
Аналогично доказывается, что все числа, в 9 раз меньшие своего обращенного, получаются из чисел ряда
$0, 1089, 10989, 109989, \cdots, \underbrace{1099 \cdots 989}_{k \:раз}, \underbrace{1099 \cdots 9989}_{(k+1) \:раз}, \cdots$
таким же образом, как и числа, в 4 раза меньшие своего обращенного, получаются из чисел ряда (*).
Ответ: а) Число, меньшее своего обращенного в 5, 6, 8 или 7 раз, должно начинаться с цифры 1; число, меньшее своего обращенного в 2 и 3 раза, может начинаться с цифр 1, 2, 3, 4, соответственно 1, 2, 3. б) Числа, в 4 раза меньшие своего обращенного,- это числа $0, 2 178, 21 978, 219 978, 2 199 978, \cdots$.(*) и числа, десятичная запись которых $P_1P_2, \cdots, P_{n-1}P_nP_{n-1} \cdots P_2P_1$, где $P_1, P_2, \cdots, P_n$ - какие-то числа ряда (*).
