Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2751
2019-04-29 
Найти наименьшее целое число, начинающееся цифрой 7 и уменьшающееся втрое от перестановки этой цифры в конец Найти все такие числа.
Решение:
Первое решение. Обозначим неизвестные пока цифры искомого числа через $x, у, \cdots, z, t$. В таком случае в обозначениях второго решения задачи 2746 (а) имеем:
$\overline{7xy \cdots zt} \cdot \frac{1}{3} = \overline{xy \cdots zt7}$,
или
$\overline{xy \cdots zt7} \cdot 3 = \overline{7xy \cdots zt}$.
Теперь сразу ясно, что $t = 1$; после этого мы можем определить цифру $z$ ($17 \cdot 3$ оканчивается на 51; значит, $z = 5$) и так последовательно с конца находить новые и новые цифры искомого числа. Вычисление следует прекратить тогда, когда мы придем к цифре 7. Его удобно расположить следующим образом:
(вычисления проводятся справа налево). Таким образом, наименьшим числом, удовлетворяющим условиям задачи, будет $7 241 379 310 344 827 586 206 896 551$.
Если в наших вычислениях не останавливаться на первой семерке, а продолжать дальше, то мы получим другие числа, удовлетворяющие условию задачи. Все такие числа будут иметь вид
$\underbrace{ \underbrace{7241379310344827586206896551}_{ \:} \cdots {7241379310344827586206896551}_{\:} }_{k \:раз}$
Второе решение. Пусть $\overline {7xyz \cdots t}$ - искомое число. Тогда при делении его на 3 получится число $\overline {xyz \cdots t7}$. Запишем это в виде.
Отсюда ясно, что $x = 2$. Если мы запишем в делимом и частном это значение, то можно будет найти вторую цифру частного; воспользовавшись ею, можно будет найти третью цифру делимого; отсюда можно найти третью цифру частного, и т. д. Процесс закончится тогда, когда последняя полученная цифра частного будет 7, а выписанное делимое разделится на 3 без остатка.
Легко видеть, что это число является искомым, так как если мы в нем переставим 7 из начала в конец, то получится число, записанное нами в качестве частного, т. е. втрое меньшее.
Так как до этого места мы по написанным уже цифрам с необходимостью получали следующую, то указанное число будет наименьшим, обладающим требуемым свойством. Вычисления можно расположить так: в верхней строке будем выписывать цифры делимого, во второй строке - число, при делении которого на 3 получается очередная цифра частного, а в нижней - эту цифру:
Итак, наименьшее число, обладающее требуемым свойством: 7 241 379 310 344 827 586 206 896 551.
Третье решение. Аналогично первому решению задачи 34 а), используя похожие обозначения, будем иметь:
$(7 \cdot 10^m + X) \cdot \frac{1}{3} = 10X + 7$,
откуда
$X = \frac {7 \cdot 10^m - 21}{29}$,
Таким образом, задача сводится к определению такого числа вида $70 000 \cdots$, которое при делении на 29 дает в остатке 21. Предоставляем читателю самому проверить, что при этом мы приходим к тому же результату, что и в первых двух решениях.
Ответ: Наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи, 7 241 379 310 344 827 586 206 896 551.
Найти наименьшее целое число, начинающееся цифрой 7 и уменьшающееся втрое от перестановки этой цифры в конец Найти все такие числа.
Решение:
Первое решение. Обозначим неизвестные пока цифры искомого числа через $x, у, \cdots, z, t$. В таком случае в обозначениях второго решения задачи 2746 (а) имеем:
$\overline{7xy \cdots zt} \cdot \frac{1}{3} = \overline{xy \cdots zt7}$,
или
$\overline{xy \cdots zt7} \cdot 3 = \overline{7xy \cdots zt}$.
Теперь сразу ясно, что $t = 1$; после этого мы можем определить цифру $z$ ($17 \cdot 3$ оканчивается на 51; значит, $z = 5$) и так последовательно с конца находить новые и новые цифры искомого числа. Вычисление следует прекратить тогда, когда мы придем к цифре 7. Его удобно расположить следующим образом:
(вычисления проводятся справа налево). Таким образом, наименьшим числом, удовлетворяющим условиям задачи, будет $7 241 379 310 344 827 586 206 896 551$.
Если в наших вычислениях не останавливаться на первой семерке, а продолжать дальше, то мы получим другие числа, удовлетворяющие условию задачи. Все такие числа будут иметь вид
$\underbrace{ \underbrace{7241379310344827586206896551}_{ \:} \cdots {7241379310344827586206896551}_{\:} }_{k \:раз}$
Второе решение. Пусть $\overline {7xyz \cdots t}$ - искомое число. Тогда при делении его на 3 получится число $\overline {xyz \cdots t7}$. Запишем это в виде.
Отсюда ясно, что $x = 2$. Если мы запишем в делимом и частном это значение, то можно будет найти вторую цифру частного; воспользовавшись ею, можно будет найти третью цифру делимого; отсюда можно найти третью цифру частного, и т. д. Процесс закончится тогда, когда последняя полученная цифра частного будет 7, а выписанное делимое разделится на 3 без остатка.
Легко видеть, что это число является искомым, так как если мы в нем переставим 7 из начала в конец, то получится число, записанное нами в качестве частного, т. е. втрое меньшее.
Так как до этого места мы по написанным уже цифрам с необходимостью получали следующую, то указанное число будет наименьшим, обладающим требуемым свойством. Вычисления можно расположить так: в верхней строке будем выписывать цифры делимого, во второй строке - число, при делении которого на 3 получается очередная цифра частного, а в нижней - эту цифру:
Итак, наименьшее число, обладающее требуемым свойством: 7 241 379 310 344 827 586 206 896 551.
Третье решение. Аналогично первому решению задачи 34 а), используя похожие обозначения, будем иметь:
$(7 \cdot 10^m + X) \cdot \frac{1}{3} = 10X + 7$,
откуда
$X = \frac {7 \cdot 10^m - 21}{29}$,
Таким образом, задача сводится к определению такого числа вида $70 000 \cdots$, которое при делении на 29 дает в остатке 21. Предоставляем читателю самому проверить, что при этом мы приходим к тому же результату, что и в первых двух решениях.
Ответ: Наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи, 7 241 379 310 344 827 586 206 896 551.
