Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2750
2019-04-29 
а) Доказать, что нет отличных от нуля целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец увеличиваются в 7 или в 9 раз.
б) Доказать, что нет отличных от нуля целых чисел, которые увеличиваются в 4 раза от перестановки начальной цифры в конец.
Решение:
а) Первое решение. Число, увеличивающееся при перенесении первой цифры в конец в 7 раз, должно начинаться с цифры 1 (иначе число, большее первоначального в 7 раз, будет иметь больше цифр, чем первоначальное). Обозначая далее $m$-значное число, полученное из исходного отбрасыванием первой цифры, через $X$, мы будем иметь (ср. с решением задачи 2746 (а))
$(1 \cdot 10^m + X) \cdot 7 = 10 \cdot X + 1$,
откуда получаем:
$X = \frac {7 \cdot 10^m - 1}{3}$.
Но очевидно, что подобное число $X$ ни при каком $m$ не будет $m$-значным $\left ( \frac {7 \cdot 10^m - 1}{3} > 10^m \right )$
Аналогично можно доказать, что не существует чисел, увеличивающихся в 9 раз от перестановки начальной цифры в конец.
Второе решение. Как в первом решении, показываем, что искомое число может начинаться только с цифры 1. Далее, имеем в принятых обозначениях:
$\overline{1xy \cdots zt} \cdot 7 = \overline{xy \cdots zt1}$.
Отсюда следует, что произведение $t \cdot 7$ оканчивается цифрой 1. Следовательно, $t = 3$. Подставим это значение $t$: имеем $\overline{1xy \cdots z3} \cdot 7 = \overline{xy \cdots z31}$. Ввиду того что $3 \cdot 7 = 21$, а произведение числа $\overline{z3}$ на 7 оканчивается на 31, произведение $z \cdot 7$ должно оканчиваться на 1. Следовательно, $z$ также равно 3. Таким же образом доказывается, что каждая следующая (если рассматривать с конца) цифра нашего числа равна 3. Но начальная цифра должна быть 1. Этого мы никогда достичь не можем. Поэтому чисел, увеличивающихся в 7 раз от перестановки начальной цифры в конец, не существует.
Аналогично можно доказать, что не существует чисел, увеличивающихся от перестановки начальной цифры в конец в 9 раз.
б) Первое решение. Так как произведение искомого числа на 4 имеет не больше цифр, чем само число, то первая цифра числа должна быть не больше 2. Так как при перенесении первой цифры в конец мы получаем четное число, то первая цифра должна быть равна 2. Далее, обозначая через $X$ $m$-значное число, которое получается из искомого при отбрасывании первой цифры, имеем:
$(2 \cdot 10^m + X) \cdot 4 = 10X + 2$, откуда $X = \frac {8 \cdot 10^m - 2}{6}$,
что невозможно, так как $\frac {8 \cdot 10^m - 2}{6} > 10^m$ (ср. с .первым решением задачи а)).
Второе решение. Как в первом решении, получаем, что первая цифра искомого числа может быть только 2. Далее имеем:
$\overline{2xy \cdots zt} \cdot 4 = \overline {xy \cdots zt2}$,
откуда следует, что $t = 3$ или 8 ($t \cdot 4$ оканчивается на 2).
Если бы $t$ равнялось 8, то число справа оканчивалось бы на 82 и не могло бы делиться на 4. Если же $t = 3$, то
$\overline{2xy \cdots z3} \cdot 4 = \overline{xy \cdots z32}$,
откуда
$\overline{2xy \cdots z0} \cdot 4 = \overline{xy \cdots z20}$
и
$\overline{2xy \cdots z} \cdot 4 = \overline{xy \cdots z2}$.
Таким образом, мы видим, что число $\overline{2xy \cdots z}$ обладает тем же свойством, что и $\overline{2xy \cdots zt}$. Поэтому, применив те же рассуждения, получим $z = 3$. Продолжая дальше эти вычисления и двигаясь последовательно справа налево, мы получим, что в десятичной записи нашего числа стоят только цифры 3. В то же время оно начинается с 2. Значит, такого числа не существует.
а) Доказать, что нет отличных от нуля целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец увеличиваются в 7 или в 9 раз.
б) Доказать, что нет отличных от нуля целых чисел, которые увеличиваются в 4 раза от перестановки начальной цифры в конец.
Решение:
а) Первое решение. Число, увеличивающееся при перенесении первой цифры в конец в 7 раз, должно начинаться с цифры 1 (иначе число, большее первоначального в 7 раз, будет иметь больше цифр, чем первоначальное). Обозначая далее $m$-значное число, полученное из исходного отбрасыванием первой цифры, через $X$, мы будем иметь (ср. с решением задачи 2746 (а))
$(1 \cdot 10^m + X) \cdot 7 = 10 \cdot X + 1$,
откуда получаем:
$X = \frac {7 \cdot 10^m - 1}{3}$.
Но очевидно, что подобное число $X$ ни при каком $m$ не будет $m$-значным $\left ( \frac {7 \cdot 10^m - 1}{3} > 10^m \right )$
Аналогично можно доказать, что не существует чисел, увеличивающихся в 9 раз от перестановки начальной цифры в конец.
Второе решение. Как в первом решении, показываем, что искомое число может начинаться только с цифры 1. Далее, имеем в принятых обозначениях:
$\overline{1xy \cdots zt} \cdot 7 = \overline{xy \cdots zt1}$.
Отсюда следует, что произведение $t \cdot 7$ оканчивается цифрой 1. Следовательно, $t = 3$. Подставим это значение $t$: имеем $\overline{1xy \cdots z3} \cdot 7 = \overline{xy \cdots z31}$. Ввиду того что $3 \cdot 7 = 21$, а произведение числа $\overline{z3}$ на 7 оканчивается на 31, произведение $z \cdot 7$ должно оканчиваться на 1. Следовательно, $z$ также равно 3. Таким же образом доказывается, что каждая следующая (если рассматривать с конца) цифра нашего числа равна 3. Но начальная цифра должна быть 1. Этого мы никогда достичь не можем. Поэтому чисел, увеличивающихся в 7 раз от перестановки начальной цифры в конец, не существует.
Аналогично можно доказать, что не существует чисел, увеличивающихся от перестановки начальной цифры в конец в 9 раз.
б) Первое решение. Так как произведение искомого числа на 4 имеет не больше цифр, чем само число, то первая цифра числа должна быть не больше 2. Так как при перенесении первой цифры в конец мы получаем четное число, то первая цифра должна быть равна 2. Далее, обозначая через $X$ $m$-значное число, которое получается из искомого при отбрасывании первой цифры, имеем:
$(2 \cdot 10^m + X) \cdot 4 = 10X + 2$, откуда $X = \frac {8 \cdot 10^m - 2}{6}$,
что невозможно, так как $\frac {8 \cdot 10^m - 2}{6} > 10^m$ (ср. с .первым решением задачи а)).
Второе решение. Как в первом решении, получаем, что первая цифра искомого числа может быть только 2. Далее имеем:
$\overline{2xy \cdots zt} \cdot 4 = \overline {xy \cdots zt2}$,
откуда следует, что $t = 3$ или 8 ($t \cdot 4$ оканчивается на 2).
Если бы $t$ равнялось 8, то число справа оканчивалось бы на 82 и не могло бы делиться на 4. Если же $t = 3$, то
$\overline{2xy \cdots z3} \cdot 4 = \overline{xy \cdots z32}$,
откуда
$\overline{2xy \cdots z0} \cdot 4 = \overline{xy \cdots z20}$
и
$\overline{2xy \cdots z} \cdot 4 = \overline{xy \cdots z2}$.
Таким образом, мы видим, что число $\overline{2xy \cdots z}$ обладает тем же свойством, что и $\overline{2xy \cdots zt}$. Поэтому, применив те же рассуждения, получим $z = 3$. Продолжая дальше эти вычисления и двигаясь последовательно справа налево, мы получим, что в десятичной записи нашего числа стоят только цифры 3. В то же время оно начинается с 2. Значит, такого числа не существует.
