Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 275
2014-06-07 
Доказать, что для любой точки О, лежащей внутри треугольника ABC с полупериметром р, справедливо неравенство
$OA \cdot \cos \frac{\angle BAC}{2} + OB \cdot \cos \frac{\angle ABC}{2} + OC \cdot \cos \frac{\angle ACB}{2} \geq p$.
Определить, когда достигается равенство.
Решение:
Положим $\alpha_{1} = \angla OAC, \alpha_{2} = \angle OAB, \beta_{1} = \angle OBA,$
$\beta_{2} = \angle OBC, \gamma_{1} = \angle OCB, \gamma_{2} = \angle OCA, \alpha = \alpha_{1} + \alpha_{2}, \beta = \beta_{1} + \beta_{2}, \gamma = \gamma_{1} + \gamma_{2}$ (риc.). Тогда требуемое неравенство вытекает из следующей цепочки соотношений:
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{1}{2} (OC \cos \gamma_{1} + OC \cos \gamma_{2} + OB \cos \beta_{1} + OB \cos \beta_{2}) +$
$+ OA \cos \alpha_{1} + OA
\cos \alpha_{1}) = OC \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma_{1} - \gamma_{2}}{2} +$
$+ OB \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta_{1} - \beta_{2}}{2} + OA \cos \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha_{1} - \alpha_{2}}{2} \leq$
$\leq OA \cos \frac{\alpha}{1} + OB \cos \frac{\beta}{2} + OC \cos \frac{\gamma}{2}$.
При этом равенство достигается при
$\alpha_{1} = \alpha_{2}, \beta_{1} = \beta_{2}, \gamma_{1} = \gamma_{2}$,
т. е. когда точка О является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC.
Доказать, что для любой точки О, лежащей внутри треугольника ABC с полупериметром р, справедливо неравенство
$OA \cdot \cos \frac{\angle BAC}{2} + OB \cdot \cos \frac{\angle ABC}{2} + OC \cdot \cos \frac{\angle ACB}{2} \geq p$.
Определить, когда достигается равенство.
Решение:
Положим $\alpha_{1} = \angla OAC, \alpha_{2} = \angle OAB, \beta_{1} = \angle OBA,$
$\beta_{2} = \angle OBC, \gamma_{1} = \angle OCB, \gamma_{2} = \angle OCA, \alpha = \alpha_{1} + \alpha_{2}, \beta = \beta_{1} + \beta_{2}, \gamma = \gamma_{1} + \gamma_{2}$ (риc.). Тогда требуемое неравенство вытекает из следующей цепочки соотношений:
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{1}{2} (OC \cos \gamma_{1} + OC \cos \gamma_{2} + OB \cos \beta_{1} + OB \cos \beta_{2}) +$
$+ OA \cos \alpha_{1} + OA
\cos \alpha_{1}) = OC \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma_{1} - \gamma_{2}}{2} +$
$+ OB \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta_{1} - \beta_{2}}{2} + OA \cos \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha_{1} - \alpha_{2}}{2} \leq$
$\leq OA \cos \frac{\alpha}{1} + OB \cos \frac{\beta}{2} + OC \cos \frac{\gamma}{2}$.
При этом равенство достигается при
$\alpha_{1} = \alpha_{2}, \beta_{1} = \beta_{2}, \gamma_{1} = \gamma_{2}$,
т. е. когда точка О является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC.
