Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2749
2019-04-29 
Доказать, что нет целых чисел (отличных от нуля), которые увеличиваются вдвое от перестановки начальной цифры в конец.
Решение:
Первое решение. Так как произведение искомого числа на 2 имеет то же самое число цифр, то первая цифра числа не может быть больше 4. Так как при перенесении первой цифры в конец мы должны получить четное число (удвоенное исходное число), то первая цифра должна быть четной. Поэтому она может быть равна только 2 или 4.
Теперь, предполагая, что первая цифра искомого числа равна 2 или 4, и обозначая число, получаемое из искомого отбрасыванием первой цифры, через $X$, мы получим аналогично первому решению задачи 2746 (а)):
$(2 \cdot 10^m + X) \cdot 2 = 10 \cdot X + 2$, откуда $X = \frac {4 \cdot 10^m - 2}{8} = \frac {2 \cdot 10^m - 1}{4}$,
или
$(4 \cdot 10^m + X) \cdot 2 = 10 \cdot X + 4$, откуда $X = \frac {8 \cdot 10^m - 4}{8} = \frac {2 \cdot 10^m - 1}{2}$.
Но обе полученные формулы для числа $X$ невозможны (целое число не может быть равно дроби, числитель которой нечетен, а знаменатель четен).
Второе решение. Как и в первом решении, убеждаемся, что первая цифра числа может быть равна только 2 или 4. Далее получаем в принятых ранее обозначениях (см. второе решение задачи 2746 (а)):
$\overline{2xy \cdots zt} \cdot 2 = \overline{xy \cdots zt 2}$ или $\overline{4xy \cdots zt} \cdot 2 = \overline{xy \cdots zt4}$.
В первом случае $t$ может быть равно только 1 или 6 (в противном случае произведение слева не может оканчиваться цифрой 2). Но если $t = 1$, то мы получаем слева число, не делящееся на 4, а справа - число, делящееся на 4 (оканчивающееся на 12). Если $t = 6$, то, наоборот, слева будет стоять число, делящееся на 4, а справа - не делящееся на 4 (оканчивающееся на 62).
Во втором случае $t$ может быть равно 2 или 7. Но если $t = 2$, то аналогично второму решению задачи 2746а) находим, что $z = 1$ или 6; при $z = 1$ произведение слева делится на 8 (произведение на 2 числа, оканчивающегося на 12), а число справа - не делится на 8 (оканчивается на 124); при $z = 6$ число справа делится на 8, а произведение слева - только на 4. Аналогично показывается, что $t$ не может равняться 7.
Доказать, что нет целых чисел (отличных от нуля), которые увеличиваются вдвое от перестановки начальной цифры в конец.
Решение:
Первое решение. Так как произведение искомого числа на 2 имеет то же самое число цифр, то первая цифра числа не может быть больше 4. Так как при перенесении первой цифры в конец мы должны получить четное число (удвоенное исходное число), то первая цифра должна быть четной. Поэтому она может быть равна только 2 или 4.
Теперь, предполагая, что первая цифра искомого числа равна 2 или 4, и обозначая число, получаемое из искомого отбрасыванием первой цифры, через $X$, мы получим аналогично первому решению задачи 2746 (а)):
$(2 \cdot 10^m + X) \cdot 2 = 10 \cdot X + 2$, откуда $X = \frac {4 \cdot 10^m - 2}{8} = \frac {2 \cdot 10^m - 1}{4}$,
или
$(4 \cdot 10^m + X) \cdot 2 = 10 \cdot X + 4$, откуда $X = \frac {8 \cdot 10^m - 4}{8} = \frac {2 \cdot 10^m - 1}{2}$.
Но обе полученные формулы для числа $X$ невозможны (целое число не может быть равно дроби, числитель которой нечетен, а знаменатель четен).
Второе решение. Как и в первом решении, убеждаемся, что первая цифра числа может быть равна только 2 или 4. Далее получаем в принятых ранее обозначениях (см. второе решение задачи 2746 (а)):
$\overline{2xy \cdots zt} \cdot 2 = \overline{xy \cdots zt 2}$ или $\overline{4xy \cdots zt} \cdot 2 = \overline{xy \cdots zt4}$.
В первом случае $t$ может быть равно только 1 или 6 (в противном случае произведение слева не может оканчиваться цифрой 2). Но если $t = 1$, то мы получаем слева число, не делящееся на 4, а справа - число, делящееся на 4 (оканчивающееся на 12). Если $t = 6$, то, наоборот, слева будет стоять число, делящееся на 4, а справа - не делящееся на 4 (оканчивающееся на 62).
Во втором случае $t$ может быть равно 2 или 7. Но если $t = 2$, то аналогично второму решению задачи 2746а) находим, что $z = 1$ или 6; при $z = 1$ произведение слева делится на 8 (произведение на 2 числа, оканчивающегося на 12), а число справа - не делится на 8 (оканчивается на 124); при $z = 6$ число справа делится на 8, а произведение слева - только на 4. Аналогично показывается, что $t$ не может равняться 7.
