Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2747
2019-04-29 
Найти наименьшее натуральное число, оканчивающееся цифрой 6, которое увеличивается в 4 раза при перенесении его последней цифры в начало числа.
Решение:
Первое решение. Пусть число $X$ удовлетворяет условиям задачи:
$Х = \overline{a_1a_2 \cdots a_{n-1}6}$ и $4X = \overline{6a_1a_2 \cdots a_{n-1}}$,
где $а_1, a_2, \cdots, a_{n-1}, 6$ - цифры числа $X$. Так как последняя цифра $X$ есть 6, то последняя цифра $а_{n-1}$, числа $4X$ есть 4; таким образом, $X= \overline{a_{1}a_{2} \cdots a_{n - 2}46 }$, что позволяет найти предпоследнюю цифру $а_{n - 2} = 8$ числа $4X$. Записав теперь $X$ в виде $\overline{ \cdots 846}$, мы сможем найти, что $a_{n-3} = 3$, и т. д. Этот процесс мы будем продолжать до тех пор, пока не получим в числе $4X$ цифры 6, которую можно считать перенесенной из конца числа $X$. Так мы находим, что наименьшее возможное число, удовлетворяющее условию задачи, есть $X = 153846$; при этом $4X = 615384$.
Второе решение. Так как искомое число $X$ оканчивается цифрой 6, то его можно записать в виде $X = 10 x + 6$, где $x$ - число, получающееся из $X$ зачеркиванием последней цифры 6. Если число $x$ является $n$-значным, то из условия задачи вытекает, что
$4 \cdot (10x + 6) = 6 \cdot 10^n + x$,
т. е.
$39x = 6 \cdot (10^n - 4)$, или $x = \frac {2 (10^n -4)}{13}$. (*)
Число $10^n - 4$, очевидно, равно 6, или 96, или 996, или $9996, \cdots$. Наименьшее из таких чисел, кратное 13, - это число $99 996 = 13 \cdot 7692$; ему отвечает значение $n = 5$. Но в таком случае равенство (*) дает $x = 15 384$, и, значит, $Х = 153 846$.
Ответ: 153 846.
Найти наименьшее натуральное число, оканчивающееся цифрой 6, которое увеличивается в 4 раза при перенесении его последней цифры в начало числа.
Решение:
Первое решение. Пусть число $X$ удовлетворяет условиям задачи:
$Х = \overline{a_1a_2 \cdots a_{n-1}6}$ и $4X = \overline{6a_1a_2 \cdots a_{n-1}}$,
где $а_1, a_2, \cdots, a_{n-1}, 6$ - цифры числа $X$. Так как последняя цифра $X$ есть 6, то последняя цифра $а_{n-1}$, числа $4X$ есть 4; таким образом, $X= \overline{a_{1}a_{2} \cdots a_{n - 2}46 }$, что позволяет найти предпоследнюю цифру $а_{n - 2} = 8$ числа $4X$. Записав теперь $X$ в виде $\overline{ \cdots 846}$, мы сможем найти, что $a_{n-3} = 3$, и т. д. Этот процесс мы будем продолжать до тех пор, пока не получим в числе $4X$ цифры 6, которую можно считать перенесенной из конца числа $X$. Так мы находим, что наименьшее возможное число, удовлетворяющее условию задачи, есть $X = 153846$; при этом $4X = 615384$.
Второе решение. Так как искомое число $X$ оканчивается цифрой 6, то его можно записать в виде $X = 10 x + 6$, где $x$ - число, получающееся из $X$ зачеркиванием последней цифры 6. Если число $x$ является $n$-значным, то из условия задачи вытекает, что
$4 \cdot (10x + 6) = 6 \cdot 10^n + x$,
т. е.
$39x = 6 \cdot (10^n - 4)$, или $x = \frac {2 (10^n -4)}{13}$. (*)
Число $10^n - 4$, очевидно, равно 6, или 96, или 996, или $9996, \cdots$. Наименьшее из таких чисел, кратное 13, - это число $99 996 = 13 \cdot 7692$; ему отвечает значение $n = 5$. Но в таком случае равенство (*) дает $x = 15 384$, и, значит, $Х = 153 846$.
Ответ: 153 846.
