Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2746
2019-04-29 
а) Найти наименьшее целое число, начинающееся с цифры 1 и такое, что если переставить эту цифру в конец, то число увеличится втрое. Найти все такие числа.
б) Какими цифрами могут начинаться отличные от нуля целые числа, увеличивающиеся втрое от перестановки первой цифры в конец? Найти все такие числа.
Решение:
а) Первое решение. Обозначим ($m$-значное) число, которое получается, если отбросить у искомого числа первую цифру 1, через $X$. В таком случае мы по условию задачи имеем:
$(1 \cdot 10^m + X) \cdot 3 = 10X + 1$,
откуда
$X = \frac {3 \cdot 10^m - 1}{7}$.
Из последнего равенства уже нетрудно определить число $X$. Для этого надо число $3 \cdot 10^m = 30000 \cdots$ делить на 7, пока в остатке не получится 1. В результате имеем:
Таким образом, наименьшее возможное значение числа $X$ равно 42 857, а наименьшее значение искомого числа 142 857.
В процессе деления можно было бы не останавливаться на первой единице, а продолжать деление до следующей, и т. д.; при этом мы получили бы числа
$\underbrace{ \underbrace{142857}_{\:} \underbrace{142857}_{\:} \cdots {142857}_{\:} }_{k \: раз}$
тоже удовлетворяющие условию задачи.
Второе решение. Обозначим вторую цифру искомого числа через $х$, третью - через $у$, и т. д., т. е. предположим, что искомое число имеет вид $\overline {1 xy \cdots zt}$ (черта наверху означает, что здесь мы имеем не произведение $1 \cdot х \cdot у \cdots z \cdot t$, а число, составленное из цифр $1, х, y, \cdots, z, t)$. В таком случае по условию задачи имеем:
$\overline {1 xy \cdots zt} \cdot 3 = \overline {xy \cdots zt1}$.
Отсюда следует, что $t = 7$ (ни в каком ином случае произведение слева не оканчивалось бы на 1). Следовательно, цифра десятков числа, которое стоит справа, равна 7. Но это возможно только, если произведение $z \cdot 3$ оканчивается на $7 - 2 = 5$ (два десятка справа получаются за счет произведения последней цифры искомого числа 7 на 3), т. е. $z = 5$. Теперь мы знаем уже цифру сотен числа справа: 5; поэтому цифра сотен искомого числа должна давать при умножении на 3 число, оканчивающееся на $5 - 1 = 4$ (1 есть цифра десятков произведения $5 \cdot 3$). Вычисления закончатся, тогда, когда мы придем к первой цифре 1. Их удобно расположить следующим образом:
(вычисления проводятся справа налево). Таким образом, наименьшим числом, удовлетворяющим условиям задачи, будет 142 857.
Если в наших вычислениях не останавливаться на первой полученной единице, а продолжать дальше, то мы получим другие числа, удовлетворяющие условию задачи:
$\underbrace{ \underbrace{142857}_{\:} \underbrace{142857}_{\:} \cdots {142857}_{\:} }_{k \: раз}$
б) Так как при увеличении такого числа втрое количество цифр его не увеличилось, то первая цифра числа может быть равна только 1, 2 или 3.
Как мы видели в решении задачи а), она может быть равна 1. Покажем теперь, что она не может быть равна 3.
Действительно, если первая цифра искомого числа равна 3, то вторая цифра, равная первой цифре утроенного данного числа, равна 9. Но результат умножения на 3 числа, начинающегося с цифр 39, имеет больше цифр, чем само исходное число; поэтому оно не может получаться из первоначального числа перенесением первой цифры в конец.
Ответ: а) Наименьшее возможное число 142 857. б) Цифрами 1 или 2. Наименьшее число, начинающееся цифрой 2, есть 285 714.
а) Найти наименьшее целое число, начинающееся с цифры 1 и такое, что если переставить эту цифру в конец, то число увеличится втрое. Найти все такие числа.
б) Какими цифрами могут начинаться отличные от нуля целые числа, увеличивающиеся втрое от перестановки первой цифры в конец? Найти все такие числа.
Решение:
а) Первое решение. Обозначим ($m$-значное) число, которое получается, если отбросить у искомого числа первую цифру 1, через $X$. В таком случае мы по условию задачи имеем:
$(1 \cdot 10^m + X) \cdot 3 = 10X + 1$,
откуда
$X = \frac {3 \cdot 10^m - 1}{7}$.
Из последнего равенства уже нетрудно определить число $X$. Для этого надо число $3 \cdot 10^m = 30000 \cdots$ делить на 7, пока в остатке не получится 1. В результате имеем:
Таким образом, наименьшее возможное значение числа $X$ равно 42 857, а наименьшее значение искомого числа 142 857.
В процессе деления можно было бы не останавливаться на первой единице, а продолжать деление до следующей, и т. д.; при этом мы получили бы числа
$\underbrace{ \underbrace{142857}_{\:} \underbrace{142857}_{\:} \cdots {142857}_{\:} }_{k \: раз}$
тоже удовлетворяющие условию задачи.
Второе решение. Обозначим вторую цифру искомого числа через $х$, третью - через $у$, и т. д., т. е. предположим, что искомое число имеет вид $\overline {1 xy \cdots zt}$ (черта наверху означает, что здесь мы имеем не произведение $1 \cdot х \cdot у \cdots z \cdot t$, а число, составленное из цифр $1, х, y, \cdots, z, t)$. В таком случае по условию задачи имеем:
$\overline {1 xy \cdots zt} \cdot 3 = \overline {xy \cdots zt1}$.
Отсюда следует, что $t = 7$ (ни в каком ином случае произведение слева не оканчивалось бы на 1). Следовательно, цифра десятков числа, которое стоит справа, равна 7. Но это возможно только, если произведение $z \cdot 3$ оканчивается на $7 - 2 = 5$ (два десятка справа получаются за счет произведения последней цифры искомого числа 7 на 3), т. е. $z = 5$. Теперь мы знаем уже цифру сотен числа справа: 5; поэтому цифра сотен искомого числа должна давать при умножении на 3 число, оканчивающееся на $5 - 1 = 4$ (1 есть цифра десятков произведения $5 \cdot 3$). Вычисления закончатся, тогда, когда мы придем к первой цифре 1. Их удобно расположить следующим образом:
(вычисления проводятся справа налево). Таким образом, наименьшим числом, удовлетворяющим условиям задачи, будет 142 857.
Если в наших вычислениях не останавливаться на первой полученной единице, а продолжать дальше, то мы получим другие числа, удовлетворяющие условию задачи:
$\underbrace{ \underbrace{142857}_{\:} \underbrace{142857}_{\:} \cdots {142857}_{\:} }_{k \: раз}$
б) Так как при увеличении такого числа втрое количество цифр его не увеличилось, то первая цифра числа может быть равна только 1, 2 или 3.
Как мы видели в решении задачи а), она может быть равна 1. Покажем теперь, что она не может быть равна 3.
Действительно, если первая цифра искомого числа равна 3, то вторая цифра, равная первой цифре утроенного данного числа, равна 9. Но результат умножения на 3 числа, начинающегося с цифр 39, имеет больше цифр, чем само исходное число; поэтому оно не может получаться из первоначального числа перенесением первой цифры в конец.
Ответ: а) Наименьшее возможное число 142 857. б) Цифрами 1 или 2. Наименьшее число, начинающееся цифрой 2, есть 285 714.
