Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2745
2019-04-29 
а) Найти все числа, которые при зачеркивании третьей цифры уменьшаются в целое число раз.
б)* Найти все числа, которые при зачеркивании второй цифры уменьшаются в целое число раз.
Решение:
а) Аналогично решению задачи 2744 а) в предположении, что целое число $N$ уменьшается в $m$ раз при зачеркивании третьей цифры, имеем:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
$10 \cdot \frac{N}{m} = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n \cdot 10$.
При $m < 10$ получаем $\frac{10 - m}{m} N < 10^{n-1}$ , что невозможно, так как $\frac{10 - m}{m} > \frac{1}{10}$, а $\frac{1}{10}N = а_0 \cdot 10^{n-1} + \cdots \geq 10^{n-1}$. При $m > 11$ получаем $\frac{m - 10}{m} \cdot N < 10^{n-1}$, что невозможно по аналогичной причине ($\frac{m-10}{m} > \frac{1}{10}$). Наконец, если $m = 11$, то должно быть $\frac{1}{11} N < 10^{n-1}$, т.е. $\frac{N}{m} = \frac{N}{11}$ имеет на две цифры меньше, чем $N$, что тоже невозможно.
Таким образом, единственным возможным случаем является $m = 10$; следовательно, условию задачи удовлетворяют числа, все цифры которых кроме первых двух - нули, и только эти числа.
Примечание. Совершенно аналогично можно показать, что единственные целые числа, уменьшающиеся в целое число раз при вычеркивании $k$-й цифры, где $k > 3$, суть числа, все цифры которых кроме первых $k - 1$ - нули.
б) Аналогично решению задачи 2744 имеем, принимая, что целое число $N$ уменьшается при вычеркивании второй цифры в $m$ раз:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
$\frac{N}{m} = a_0 \cdot 10^{n -1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$.
Отсюда следует
$\frac{N}{m} = N - a_0 \cdot 10^n - a_1 \cdot 10^{n-1} + a_0 \cdot 10^{n-1}$,
или после несложных преобразований
$N = \frac {(9a_0 + a_1) \cdot 10^{n-1} \cdot m}{m-1}$. (*)
Последнее выражение можно еще представить в следующей виде:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} - a_0 \cdot 10^{n-1} + \frac {(9a_0 + a_1) \cdot 10^{n-1}}{m-1}$.
Но, с другой стороны, мы знаем, что $N$ есть $(n+1)$-значное число, начинающееся с цифр $а_0$ и $а_1$:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
где можно считать, что не все цифры $а_2, \cdots, а_n$ равны нулю (противоположный случай сводится к рассмотрению двузначных чисел $N$; см. решение задачи 2742). Таким образом, должно иметь место неравенство
$0 < -a_0 \cdot 10^{n-1} + \frac {(9a_0 + a_1) \cdot 10^{n-1}}{m-1} < 10^{n - 1} $,
или, что равносильно,
$a_0 < \frac {9a_0 + a_1}{m - 1} < a_0 + 1$ (**)
Итак, окончательно мы имеем следующие результаты. Искомые числа $N$ выражаются формулой (*), где $0 \leq a_0 \leq 9, 0 \leq a_1 \leq 9$; так как $N$ целое, а $m$ и $m - 1$ взаимно просты, то отсюда следует, что простую дробь $\frac {9a_0 + a_1}{m-1}$ можно обратить в десятичную. При этом возможные значения $а_0$, $a_1$, и $m$ должны удовлетворять неравенству (**) (кроме того, отдельно следует присоединить к возможным значениям $N$ двузначные числа, полученные в решении задачи 2742).
Теперь остается только последовательно рассмотреть все возможные значения $а_0$.
1. $а_0 = 1$. В этом случае неравенство (**) дает
$1 < \frac{18}{m-1}, m - 1 < 18; \frac{9}{m-1} < 2, m-1 > 4$;
придавая $m - 1$ последовательно значения 5, 6, 7, $\cdots$, 17 и выбирая каждый раз подходящие значения $а_1$, мы получаем следующее значения $N$:
$N = 108, 105, 10125, 1125, 12375, 135, 14625, 1575, 16875, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 1625, 195, 192, 180625, 19125$,
к каждому из которых еще можно приписать в конце произвольное число нулей.
Аналогично далее получаем:
2. $а_0 = 2$: $N = 2025, 21375, 225, 23625, 2475, 25875, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297, 2925$.
3. $а_0 = 3$: $N = 30725, 315, 32625, 3375, 34875, 341, 352, 363, 374, 385, 396$.
4. $а_0 = 4$: $N = 405, 41625, 4275, 43875, 451, 462, 473, 484, 495$.
5. $а_0 = 5$: $N = 50625, 5175, 52875, 561, 572, 583, 594$.
6. $а_0 = 6$: $N = 6075, 61875, 671, 682, 693$.
7. $а_0 = 7$: $N = 781, 792$.
8. $a_0 = 8$: $N = 891$.
Значению $а_0 = 9$ не отвечает ни одно значение $N$.
Всего, включая результаты задачи 2742, мы получаем для числа $N$ 104 значения, к каждому из которых еще можно приписать в конце произвольное количество нулей.
а) Найти все числа, которые при зачеркивании третьей цифры уменьшаются в целое число раз.
б)* Найти все числа, которые при зачеркивании второй цифры уменьшаются в целое число раз.
Решение:
а) Аналогично решению задачи 2744 а) в предположении, что целое число $N$ уменьшается в $m$ раз при зачеркивании третьей цифры, имеем:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
$10 \cdot \frac{N}{m} = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n \cdot 10$.
При $m < 10$ получаем $\frac{10 - m}{m} N < 10^{n-1}$ , что невозможно, так как $\frac{10 - m}{m} > \frac{1}{10}$, а $\frac{1}{10}N = а_0 \cdot 10^{n-1} + \cdots \geq 10^{n-1}$. При $m > 11$ получаем $\frac{m - 10}{m} \cdot N < 10^{n-1}$, что невозможно по аналогичной причине ($\frac{m-10}{m} > \frac{1}{10}$). Наконец, если $m = 11$, то должно быть $\frac{1}{11} N < 10^{n-1}$, т.е. $\frac{N}{m} = \frac{N}{11}$ имеет на две цифры меньше, чем $N$, что тоже невозможно.
Таким образом, единственным возможным случаем является $m = 10$; следовательно, условию задачи удовлетворяют числа, все цифры которых кроме первых двух - нули, и только эти числа.
Примечание. Совершенно аналогично можно показать, что единственные целые числа, уменьшающиеся в целое число раз при вычеркивании $k$-й цифры, где $k > 3$, суть числа, все цифры которых кроме первых $k - 1$ - нули.
б) Аналогично решению задачи 2744 имеем, принимая, что целое число $N$ уменьшается при вычеркивании второй цифры в $m$ раз:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
$\frac{N}{m} = a_0 \cdot 10^{n -1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$.
Отсюда следует
$\frac{N}{m} = N - a_0 \cdot 10^n - a_1 \cdot 10^{n-1} + a_0 \cdot 10^{n-1}$,
или после несложных преобразований
$N = \frac {(9a_0 + a_1) \cdot 10^{n-1} \cdot m}{m-1}$. (*)
Последнее выражение можно еще представить в следующей виде:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} - a_0 \cdot 10^{n-1} + \frac {(9a_0 + a_1) \cdot 10^{n-1}}{m-1}$.
Но, с другой стороны, мы знаем, что $N$ есть $(n+1)$-значное число, начинающееся с цифр $а_0$ и $а_1$:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
где можно считать, что не все цифры $а_2, \cdots, а_n$ равны нулю (противоположный случай сводится к рассмотрению двузначных чисел $N$; см. решение задачи 2742). Таким образом, должно иметь место неравенство
$0 < -a_0 \cdot 10^{n-1} + \frac {(9a_0 + a_1) \cdot 10^{n-1}}{m-1} < 10^{n - 1} $,
или, что равносильно,
$a_0 < \frac {9a_0 + a_1}{m - 1} < a_0 + 1$ (**)
Итак, окончательно мы имеем следующие результаты. Искомые числа $N$ выражаются формулой (*), где $0 \leq a_0 \leq 9, 0 \leq a_1 \leq 9$; так как $N$ целое, а $m$ и $m - 1$ взаимно просты, то отсюда следует, что простую дробь $\frac {9a_0 + a_1}{m-1}$ можно обратить в десятичную. При этом возможные значения $а_0$, $a_1$, и $m$ должны удовлетворять неравенству (**) (кроме того, отдельно следует присоединить к возможным значениям $N$ двузначные числа, полученные в решении задачи 2742).
Теперь остается только последовательно рассмотреть все возможные значения $а_0$.
1. $а_0 = 1$. В этом случае неравенство (**) дает
$1 < \frac{18}{m-1}, m - 1 < 18; \frac{9}{m-1} < 2, m-1 > 4$;
придавая $m - 1$ последовательно значения 5, 6, 7, $\cdots$, 17 и выбирая каждый раз подходящие значения $а_1$, мы получаем следующее значения $N$:
$N = 108, 105, 10125, 1125, 12375, 135, 14625, 1575, 16875, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 1625, 195, 192, 180625, 19125$,
к каждому из которых еще можно приписать в конце произвольное число нулей.
Аналогично далее получаем:
2. $а_0 = 2$: $N = 2025, 21375, 225, 23625, 2475, 25875, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297, 2925$.
3. $а_0 = 3$: $N = 30725, 315, 32625, 3375, 34875, 341, 352, 363, 374, 385, 396$.
4. $а_0 = 4$: $N = 405, 41625, 4275, 43875, 451, 462, 473, 484, 495$.
5. $а_0 = 5$: $N = 50625, 5175, 52875, 561, 572, 583, 594$.
6. $а_0 = 6$: $N = 6075, 61875, 671, 682, 693$.
7. $а_0 = 7$: $N = 781, 792$.
8. $a_0 = 8$: $N = 891$.
Значению $а_0 = 9$ не отвечает ни одно значение $N$.
Всего, включая результаты задачи 2742, мы получаем для числа $N$ 104 значения, к каждому из которых еще можно приписать в конце произвольное количество нулей.
