Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2744
2019-04-29 
Целое число уменьшается в 9 раз при зачеркивании некоторой его цифры; при этом полученное число тоже делится на 9.
а) Доказать, что для того, чтобы разделить полученное число на 9, тоже достаточно вычеркнуть в нем одну цифру.
б) Найти все целые числа, удовлетворяющие условию задачи.
Решение:
а) Покажем прежде всего, что никакое число $N$ не может уменьшиться в 9 раз при зачеркивании цифры, стоящей дальше чем на втором месте. Действительно, если это не так, то обозначая цифры числа $N$ через $a_0, a_1, \cdots, a_n$, т. е. полагая
$a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + \cdots + a_n = N$,
мы заключим, что число $\frac{N}{9}$ имеет $n$ цифр, первые две из которых $a_0$ и $a_1$, т. е.
$a_0 \cdot 10^{n-1} + a_1 \cdot 10^{n-2} + \cdots = \frac{N}{9}$.
Умножая последнее равенство на 10 и вычитая первое, получим:
$\frac{N}{9} < 10^{n-1}$,
что невозможно, так как
$\frac{N}{10} = a_0 \cdot 10^{n-1} + \cdots \geq 10^{n-1}$.
С другой стороны, из признака делимости на 9 вытекает, что если число $N$ делится на 9 одновременно с числом, получаемым из $N$ вычеркиванием одной цифры, то эта цифра есть 0 или 9. Таким образом, в нашем случае возможно только, что первая или вторая цифра числа $N$ равна 0 или 9 и вычеркивание этой цифры равносильно делению $N$ на 9. Но первая цифра $N$ не может равняться 0, а если бы она была равна 9, то число $\frac{N}{9}$ имело бы столько же цифр, сколько $N$, и не могло получаться из $N$ вычеркиванием одной цифры. Далее, если вторая цифра $N$ равна 9 и число, получаемое из $N$ зачеркиванием этой цифры, равно $\frac{N}{9}$, то мы имеем:
$N = a_0 \cdot 10^n + 9 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
$\frac{N}{9} = a_0 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
откуда опять, умножая второе равенство на 10 и вычитая из него первое, получим:
$\frac{N}{9} < 10^{n-1}$
(ибо $a_2 \leq 9$). Таким образом, мы убеждаемся, что для того, чтобы уменьшить число $N$ в 9 раз, в нем надо зачеркнуть цифру 0, стоящую на втором месте.
Теперь мы имеем:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
$\frac{N}{9} = a_0 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + a_{n}$.
Отсюда следует
$\frac{N}{9} = N - a_0 \cdot 10^n + a-{n} \cdot 10^{ n- 1} = N - a_{0} 10^{ n- 1} \cdot 9$
и наконец
$\frac{1}{9} \cdot \frac{N}{9} = \frac{N}{9} - a_0 \cdot 10^{n-1}$,
последнее означает, что, для того чтобы разделить число $\frac{N}{9}$ на 9, в нем достаточно зачеркнуть первую цифру.
б) Имеем (см. решение задачи а)):
$\frac{N}{9} = N - a_0 \cdot 10^{n-1} \cdot 9$,
откуда сразу следует
$N = \frac {a_0 \cdot 10^{n-1} \cdot 81}{8}$.
Теперь, считая $a_0$ равным соответственно 1, 2, 3, и т. д., получим, что $N$ может быть равно одному из чисел 10 125, 2025, 30 375, 405,50 625, 6075, 70 875 или отличаться от одного из этих чисел каким-то количеством нулей в конце ($а_0$ не может быть равно 8 или 9, так как в этом случае вторая цифра $N$ уже не будет нулем).
Целое число уменьшается в 9 раз при зачеркивании некоторой его цифры; при этом полученное число тоже делится на 9.
а) Доказать, что для того, чтобы разделить полученное число на 9, тоже достаточно вычеркнуть в нем одну цифру.
б) Найти все целые числа, удовлетворяющие условию задачи.
Решение:
а) Покажем прежде всего, что никакое число $N$ не может уменьшиться в 9 раз при зачеркивании цифры, стоящей дальше чем на втором месте. Действительно, если это не так, то обозначая цифры числа $N$ через $a_0, a_1, \cdots, a_n$, т. е. полагая
$a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + \cdots + a_n = N$,
мы заключим, что число $\frac{N}{9}$ имеет $n$ цифр, первые две из которых $a_0$ и $a_1$, т. е.
$a_0 \cdot 10^{n-1} + a_1 \cdot 10^{n-2} + \cdots = \frac{N}{9}$.
Умножая последнее равенство на 10 и вычитая первое, получим:
$\frac{N}{9} < 10^{n-1}$,
что невозможно, так как
$\frac{N}{10} = a_0 \cdot 10^{n-1} + \cdots \geq 10^{n-1}$.
С другой стороны, из признака делимости на 9 вытекает, что если число $N$ делится на 9 одновременно с числом, получаемым из $N$ вычеркиванием одной цифры, то эта цифра есть 0 или 9. Таким образом, в нашем случае возможно только, что первая или вторая цифра числа $N$ равна 0 или 9 и вычеркивание этой цифры равносильно делению $N$ на 9. Но первая цифра $N$ не может равняться 0, а если бы она была равна 9, то число $\frac{N}{9}$ имело бы столько же цифр, сколько $N$, и не могло получаться из $N$ вычеркиванием одной цифры. Далее, если вторая цифра $N$ равна 9 и число, получаемое из $N$ зачеркиванием этой цифры, равно $\frac{N}{9}$, то мы имеем:
$N = a_0 \cdot 10^n + 9 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
$\frac{N}{9} = a_0 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
откуда опять, умножая второе равенство на 10 и вычитая из него первое, получим:
$\frac{N}{9} < 10^{n-1}$
(ибо $a_2 \leq 9$). Таким образом, мы убеждаемся, что для того, чтобы уменьшить число $N$ в 9 раз, в нем надо зачеркнуть цифру 0, стоящую на втором месте.
Теперь мы имеем:
$N = a_0 \cdot 10^n + a_2 \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_n$,
$\frac{N}{9} = a_0 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + a_{n}$.
Отсюда следует
$\frac{N}{9} = N - a_0 \cdot 10^n + a-{n} \cdot 10^{ n- 1} = N - a_{0} 10^{ n- 1} \cdot 9$
и наконец
$\frac{1}{9} \cdot \frac{N}{9} = \frac{N}{9} - a_0 \cdot 10^{n-1}$,
последнее означает, что, для того чтобы разделить число $\frac{N}{9}$ на 9, в нем достаточно зачеркнуть первую цифру.
б) Имеем (см. решение задачи а)):
$\frac{N}{9} = N - a_0 \cdot 10^{n-1} \cdot 9$,
откуда сразу следует
$N = \frac {a_0 \cdot 10^{n-1} \cdot 81}{8}$.
Теперь, считая $a_0$ равным соответственно 1, 2, 3, и т. д., получим, что $N$ может быть равно одному из чисел 10 125, 2025, 30 375, 405,50 625, 6075, 70 875 или отличаться от одного из этих чисел каким-то количеством нулей в конце ($а_0$ не может быть равно 8 или 9, так как в этом случае вторая цифра $N$ уже не будет нулем).
