Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2743
2019-04-29 
а) Найти все целые числа, начинающиеся с цифры 6 и от зачеркивания этой цифры уменьшающиеся в 25 раз.
б) Доказать, что не существует целых чисел, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются в 35 раз.
Решение:
а) Пусть искомое число имеет $k + 1$ цифр; в таком случае оно имеет вид $66 \cdot 10^k + y$, где $у$ есть $k$-значное число (которое может начинаться с одного или нескольких нулей). По условию задачи имеем:
$6 \cdot 10^k + y = 25 \cdot y$,
откуда
$y = \frac {6 \cdot 10^k}{24}$.
Отсюда вытекает, что $k$ не может быть меньше 2 (иначе $6 \cdot 10^k$ не делилось бы на 24). При $к \geq 2$ число $y$ оказывается равным $25 \cdot 10^{k-2}$, т. е. имеет вид $\underbrace{250 \cdots 0}_{(k-2) \: нулей}$. Поэтому все искомые числа имеют вид $\underbrace{6250 \cdots 0}_{n \:нулей} \: (n = 0, 1, 2, \cdots)$.
б) Решая задачу: найти число, начинающееся с данной цифры a и уменьшающееся при зачеркивании этой цифры в 35 раз, аналогично задаче а), мы придем к следующему равенству:
$y = \frac {a \cdot 10^k}{34}$,
где $y$ - целое число (см. решение задачи а)). Но это равенство, очевидно, не может иметь места ни при каких целых $а \leq 9$ и $k$.
а) Найти все целые числа, начинающиеся с цифры 6 и от зачеркивания этой цифры уменьшающиеся в 25 раз.
б) Доказать, что не существует целых чисел, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются в 35 раз.
Решение:
а) Пусть искомое число имеет $k + 1$ цифр; в таком случае оно имеет вид $66 \cdot 10^k + y$, где $у$ есть $k$-значное число (которое может начинаться с одного или нескольких нулей). По условию задачи имеем:
$6 \cdot 10^k + y = 25 \cdot y$,
откуда
$y = \frac {6 \cdot 10^k}{24}$.
Отсюда вытекает, что $k$ не может быть меньше 2 (иначе $6 \cdot 10^k$ не делилось бы на 24). При $к \geq 2$ число $y$ оказывается равным $25 \cdot 10^{k-2}$, т. е. имеет вид $\underbrace{250 \cdots 0}_{(k-2) \: нулей}$. Поэтому все искомые числа имеют вид $\underbrace{6250 \cdots 0}_{n \:нулей} \: (n = 0, 1, 2, \cdots)$.
б) Решая задачу: найти число, начинающееся с данной цифры a и уменьшающееся при зачеркивании этой цифры в 35 раз, аналогично задаче а), мы придем к следующему равенству:
$y = \frac {a \cdot 10^k}{34}$,
где $y$ - целое число (см. решение задачи а)). Но это равенство, очевидно, не может иметь места ни при каких целых $а \leq 9$ и $k$.
