Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2742
2019-04-29 
Какие целые числа от зачеркивания последней цифры уменьшаются в целое число раз?
Решение:
Легко видеть, что при зачеркивании последней цифры целое число уменьшается не меньше чем в 10 раз. Ровно в 10 раз уменьшаются при зачеркивании последней цифры числа, оканчивающиеся нулем; следовательно, все эти числа удовлетворяют условию задачи.
Допустим теперь, что целое число $x$ при зачеркивании последней цифры уменьшается в целое число раз, большее чем 10, а именно в $10 + a$ раз $(a \geq 1)$; пусть $y$ - число целых десятков числа $x$ (не цифра, а число!); $z$ - цифра единиц: $x = 10y + z$. После отбрасывания последней цифры число $x$ переходит в число $y$; поэтому наши условия дают
$x = (10 + a) \cdot у$,
или
$10y + z = (10 + a) \cdot у$,
откуда
$z = ay$.
Так как $z < 10$, то и $y < 10, a < 10$; следовательно, числа, обладающие нужным свойством, двузначны и при отбрасывании последней цифры могут уменьшиться не более чем в 19 раз. Теперь легко видеть, что при зачеркивании последней цифры в 11 раз уменьшаются только числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 и 99; в самом деле, если $10 + a = 11$, то $a = 1$; следовательно, $z = ay = у$, $x = 10y + z = - 11y$, где $у = 1, 2, 3,\cdots, 9$. Аналогично найдем, что в 12 раз уменьшаются лишь числа 12, 24, 36, 48; в 13 раз - 13, 26, 39; в 14 раз - 14, 28; в 15, 16, 17, 18 и 19 раз - только соответственно числа 15, 16, 17, 18 и 19.
Ответ: Все числа, оканчивающиеся на 0, и двузначные числа: 11, 23, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 09; 12, 24, 36, 48; 13, 26, 39; 14, 28; 15; 16; 17; 18; 19.
Какие целые числа от зачеркивания последней цифры уменьшаются в целое число раз?
Решение:
Легко видеть, что при зачеркивании последней цифры целое число уменьшается не меньше чем в 10 раз. Ровно в 10 раз уменьшаются при зачеркивании последней цифры числа, оканчивающиеся нулем; следовательно, все эти числа удовлетворяют условию задачи.
Допустим теперь, что целое число $x$ при зачеркивании последней цифры уменьшается в целое число раз, большее чем 10, а именно в $10 + a$ раз $(a \geq 1)$; пусть $y$ - число целых десятков числа $x$ (не цифра, а число!); $z$ - цифра единиц: $x = 10y + z$. После отбрасывания последней цифры число $x$ переходит в число $y$; поэтому наши условия дают
$x = (10 + a) \cdot у$,
или
$10y + z = (10 + a) \cdot у$,
откуда
$z = ay$.
Так как $z < 10$, то и $y < 10, a < 10$; следовательно, числа, обладающие нужным свойством, двузначны и при отбрасывании последней цифры могут уменьшиться не более чем в 19 раз. Теперь легко видеть, что при зачеркивании последней цифры в 11 раз уменьшаются только числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 и 99; в самом деле, если $10 + a = 11$, то $a = 1$; следовательно, $z = ay = у$, $x = 10y + z = - 11y$, где $у = 1, 2, 3,\cdots, 9$. Аналогично найдем, что в 12 раз уменьшаются лишь числа 12, 24, 36, 48; в 13 раз - 13, 26, 39; в 14 раз - 14, 28; в 15, 16, 17, 18 и 19 раз - только соответственно числа 15, 16, 17, 18 и 19.
Ответ: Все числа, оканчивающиеся на 0, и двузначные числа: 11, 23, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 09; 12, 24, 36, 48; 13, 26, 39; 14, 28; 15; 16; 17; 18; 19.
