ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что если $a, b, c$ - длины сторон треугольника, $P$ - его периметр, a $S$ -
его площадь, то справедливы неравенства:
1) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{P}$.
2) $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{P^{2}}{3}$.
3) $P^{2} \geq 12 \sqrt{3}S$.
4) $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 \sqrt{3}S$.
5) $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq P^{3}/9$.
6) $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{3}SP$.
7) $a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq 16S^{2}$.


Решение:


1) По теореме о средних имеем
$(ab + bc + ca)(a + b +c) = a^{2}b + b^{2}a + c^{2}a + a^{2}c + b^{2}c + c^{2}b + 3abc \geq$
$\geq 6abc + 3abc = 9abc$,
откуда вытекает неравенство
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{P}$
2) Неравенство
$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq P^{2}/3$
вытекает из цепочки соотношений
$P^{2} = (a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc \leq$
$\leq a^{2} + b^{2} + c^{2} + (a^{2} + b^{2}) + (a^{2} + c^{2}) + (b^{2} + c^{2})= 3(a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
3) По формуле Герона и теореме о средних получаем
$27S^{2} = 27 (P/2)(P/2 - a)(P/2 - b)(P/2 - c) \leq$
$\leq 27(P/2) \left ( \frac{(P/2 - a) + (P/2 - b) + (P/2 - c)}{3} \right )^{3} = P^{4}/16$,
т. е. $P^{2} \geq 12 \sqrt{3}S$.
4) Согласно неравенствам 2) и 3) имеем
$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq P^{2}/3 \geq 4 \sqrt{3} S$.
5) Неравенство
$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq P^{3}/9$
следует из цепочки соотношений
$P^{3} 0= (a + b + c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc + 3ab(a + b) + 3bc(b + c) +$
$+ 3ca(c + a) \leq a^{3} + b^{3} + c^{3} + 2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 3(a^{2} - ab + b^{3})(a + b) +$
$+ 3(a^{2} – ac + c^{2})(a + c) + 3(b^{2} – bc + c^{2})(b + c) = 9(a^{3} + b^{3} + c^{3})$.
6) Согласно неравенствам 3) и 5) имеем
$a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq P^{3}/9 \geq 12 \sqrt{3} SP/9 = (4 \sqrt{3} /3)SP$.
7) Из неравенства 4) получаем
$16S^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} = \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2a^{2}b^{2} + 2a^{2}c^{2} + 2b^{2}c^{2}}{3} \leq$
$\leq a^{4} + b^{4} + c^{4}$.