2019-04-29
На шахматной доске размером $1000 \times 1000$ клеток стоит белый король и 499 черных ладей. Доказать, что при произвольном положении фигур (и при произвольной игре черных) король может «сыграть в поддавки», т. е. за ряд ходов стать на находящееся под боем одной из ладей поле, вынудив тем самым себя побить. (Фигуры на нашей доске ходят по обычным правилам.)
Решение:
Король может избрать следующую «самоубийственную» (но ведь самоубийство и является его целью!) стратегию: сначала он перейдет в нижний левый угол доски, а оттуда двинется по диагонали слева вверх направо. После того, как король сделает 1-й ход по диагонали, он окажется на помеченном звездочкой на рис. а поле; при этом если хоть одна ладья (после ответа черных на последний ход короля) окажется вне заштрихованного на этом рисунке квадрата размера $997 \times 997$, то король сможет стать под удар следующим своим ходом. Аналогично устанавливается, что после 998 ходов по диагонали, когда король окажется на поле, помеченном звездочкой на рис. б, все черные ладьи должны будут находиться в заштрихованном на этом рисунке квадрате. При этом если в процессе движения короля хоть одна ладья осталась на той же горизонтальной строке или на том же вертикальном столбце шахматной доски, где она стояла ранее, то король в процессе своего движения пересечет эту строку или этот столбец - и тем самым окажется под боем. Поэтому, если «черные» стремятся не брать короля, то за время движения короля от положения рис. а до положения рис. б (король за это время сделал 997 ходов) каждая из 499 ладей должна сделать минимум 2 хода (ибо каждым ходом она меняет либо строку, на которой стоит, либо столбец, но никогда - строку и столбец одновременно); но на $2 \cdot 499 = 998$ ходов у ладей не хватит времени (королю ведь достаточно сделать лишь 997 ходов!).
Ответ: Королю достаточно пройти в один из углов доски и далее идти по диагонали доски.