Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 273
2014-06-07 
Доказать, что если на плоскости расположены 6 различных точек, то отношение наибольшего из расстояний между этими точками к наименьшему из них не меньше $\sqrt{3}$.
Решение:
Заметим прежде всего, что если среди данных точек всегда можно выбрать три точки А, В, С, для которых $120^{\circ} < \angle ABC$, то утверждение задачи выполнено. Действительно, пусть M - наибольшее, а m - наименьшее из расстояний между точками, тогда по теореме косинусов (справедливой и в случае $\angle ABC = 180^{\circ}$) имеем
$M^{2} \geq AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} – 2AB \cdot BC \cos \angle ABC \geq m^{2} + m^{2} + 2m^{2} \cdot (1/2) = 3m^{2}$,
откуда $M > \sqrt{3} m$. Если 6 точек расположены в вершинах выпуклого шестиугольника, то хотя бы один из его внутренних углов (составляющих и сумме $180^{\circ} \cdot 4 = 120^{\circ} \cdot 6$) не меньше $120^{\circ}$. Если же это не так, то хотя бы одна точка О обладает следующим свойством: относительно любой прямой, проходящей точку О и еще одну из точек, все остальные точки не лежат внутри одной полуплоскости. Тогда возьмем еще одну точку А и в каждой из двух полуплоскостей относительно примой OA выберем точки В и С соответственно, для которых утлы АОВ и АОС максимальны (рис.). Тогда
$\angle AOB + \angle AOC \geq 180^{\circ}$
(иначе все точки лежат внутри одной полуплоскости относительно прямой ОВ), поэтому возможны три случаи: либо
$\angle AOB \geq 120^{\circ}$,
A либо
$\angle AOC \geq 120^{\circ}$,
либо
$\angle BOC = 360^{\circ} - \angle AOB - \angle AOC > 120^{\circ}$.
Итак, в любом из случаев расположении точек существуют три точки, образующие угол не меньше $120^{\circ}$, следовательно, утверждение задачи справедливо.
Доказать, что если на плоскости расположены 6 различных точек, то отношение наибольшего из расстояний между этими точками к наименьшему из них не меньше $\sqrt{3}$.
Решение:
Заметим прежде всего, что если среди данных точек всегда можно выбрать три точки А, В, С, для которых $120^{\circ} < \angle ABC$, то утверждение задачи выполнено. Действительно, пусть M - наибольшее, а m - наименьшее из расстояний между точками, тогда по теореме косинусов (справедливой и в случае $\angle ABC = 180^{\circ}$) имеем
$M^{2} \geq AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} – 2AB \cdot BC \cos \angle ABC \geq m^{2} + m^{2} + 2m^{2} \cdot (1/2) = 3m^{2}$,
откуда $M > \sqrt{3} m$. Если 6 точек расположены в вершинах выпуклого шестиугольника, то хотя бы один из его внутренних углов (составляющих и сумме $180^{\circ} \cdot 4 = 120^{\circ} \cdot 6$) не меньше $120^{\circ}$. Если же это не так, то хотя бы одна точка О обладает следующим свойством: относительно любой прямой, проходящей точку О и еще одну из точек, все остальные точки не лежат внутри одной полуплоскости. Тогда возьмем еще одну точку А и в каждой из двух полуплоскостей относительно примой OA выберем точки В и С соответственно, для которых утлы АОВ и АОС максимальны (рис.). Тогда
$\angle AOB + \angle AOC \geq 180^{\circ}$
(иначе все точки лежат внутри одной полуплоскости относительно прямой ОВ), поэтому возможны три случаи: либо
$\angle AOB \geq 120^{\circ}$,
A либо
$\angle AOC \geq 120^{\circ}$,
либо
$\angle BOC = 360^{\circ} - \angle AOB - \angle AOC > 120^{\circ}$.
Итак, в любом из случаев расположении точек существуют три точки, образующие угол не меньше $120^{\circ}$, следовательно, утверждение задачи справедливо.
