Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2727
2019-04-29 
Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета отличается по весу от настоящих, но не известно, легче она настоящих или тяжелее. Настоящие монеты все одного веса. С помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету и одновременно установить, легче она или тяжелее остальных.
Решение:
Разделим наши монеты на три группы по четыре монеты в каждой. При первом взвешивании поместим на каждую чашку весов по группе из четырех монет. Возможны два варианта:
1. Чашки весов уравновесились.
2. Одна из чашек перевесила.
Рассмотрим оба варианта в отдельности.
1. При первом взвешивании чашки весов уравновесились. Следовательно, фальшивая монета находится в оставшейся группе, а 8 монет на весах - настоящие. Перенумеруем монеты из оставшейся группы: 1, 2, 3, 4. Положим при втором взвешивании монеты 1, 2 и 3 на одну чашку, а на другую - три монеты из числа восьми заведомо настоящих. Возможны два случая:
А) Чашки весов уравновесились. Тогда монета 4 - фальшивая. Сравнивая третьим взвешиванием ее с настоящей, мы находим, легче она или тяжелее, чем настоящая.
Б) Одна из чашек перетянула. В этом случая фальшивой является одна из монет 1, 2 или 3. При этом, если перетянула чашка с настоящими монетами, то фальшивая монета легче настоящих; одним взвешиванием мы без труда выделяем более легкую из трех монет: 1, 2 и 3 (ср. с решением задачи 13а)). Если же перетянула чашка с монетами 1, 2, 3, то фальшивая монета тяжелее настоящих; и в этом случае ее легко определить одним взвешиванием.
2. При первом взвешивании одна из чашек весов перетянула. Тогда все монеты в оставшейся группе - настоящие. Обозначим монеты, лежавшие на перетянувшей чашке, через 1, 2, 3, 4 (если одна из этих монет фальшивая, то она тяжелее настоящих), а монеты на другой чашке - через $1^{ \prime}, 2^{ \prime}, 3^{ \prime}, 4^{ \prime}$ (если одна из этих монет фальшивая, то она легче настоящих). При втором взвешивании поместим на одну чашку монеты 1, 2 и $1^{ \prime}$, а на другую - монеты 3, 4 и $2^{ \prime}$. Возможны опять-таки различные случаи:
А) Чашки уравновесились. Тогда фальшивая одна из монет $3^{ \prime}$ или $4^{ \prime}$ (и при этом она легче настоящих). При третьем взвешивании поместим на одну чашку весов монету $3^{ \prime}$, а на вторую - монету $4^{ \prime}$; та из этих монет, которая окажется легче другой, и будет фальшивой.
Б) Перетянула чашка с монетами $1, 2, 1^{ \prime}$. В этом случае монеты 3, 4 и $1^{ \prime}$ - настоящие; в самом деле, если бы одна из монет 3, 4 была бы тяжелее остальных или монета $1^{ \prime}$ была бы легче остальных, то при втором взвешивании чашка, на которой лежат монеты 3, 4 и 2 должна была бы перетянуть, чего на самом деле не случилось.
Итак, фальшивой является одна из монет 1, 2 (в этом случае фальшивая монета тяжелее настоящих) или $2^{ \prime}$ (в этом случае фальшивая монета легче настоящих). Положим при третьем взвешивании на одну чашку монету 1, а на другую - монету 2. Если чашки уравновесились, то фальшивая монета $2^{ \prime}$, а если одна из чашек перетянула, то на перетянувшей чашке лежит фальшивая монета.
В) Перетянула чашка с монетами $3, 4, 2^{ \prime}$. Рассуждая аналогично предыдущему, мы заключаем, что монеты 1, 2 и $2^{ \prime}$ - настоящие и что либо одна из монет 3, 4 фальшивая и тяжелее настоящих, либо монета $1^{ \prime}$ фальшивая и легче настоящих. При третьем взвешивании положим на одну чашку монету 3, а на другую - монету 4. Если весы уравновесились, то фальшивая монета 1. Если же одна из чашек перетянула, то на ней и находится фальшивая монета.
Ответ: При первом взвешивании поместите на каждую чашку весов по четыре монеты.
Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета отличается по весу от настоящих, но не известно, легче она настоящих или тяжелее. Настоящие монеты все одного веса. С помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету и одновременно установить, легче она или тяжелее остальных.
Решение:
Разделим наши монеты на три группы по четыре монеты в каждой. При первом взвешивании поместим на каждую чашку весов по группе из четырех монет. Возможны два варианта:
1. Чашки весов уравновесились.
2. Одна из чашек перевесила.
Рассмотрим оба варианта в отдельности.
1. При первом взвешивании чашки весов уравновесились. Следовательно, фальшивая монета находится в оставшейся группе, а 8 монет на весах - настоящие. Перенумеруем монеты из оставшейся группы: 1, 2, 3, 4. Положим при втором взвешивании монеты 1, 2 и 3 на одну чашку, а на другую - три монеты из числа восьми заведомо настоящих. Возможны два случая:
А) Чашки весов уравновесились. Тогда монета 4 - фальшивая. Сравнивая третьим взвешиванием ее с настоящей, мы находим, легче она или тяжелее, чем настоящая.
Б) Одна из чашек перетянула. В этом случая фальшивой является одна из монет 1, 2 или 3. При этом, если перетянула чашка с настоящими монетами, то фальшивая монета легче настоящих; одним взвешиванием мы без труда выделяем более легкую из трех монет: 1, 2 и 3 (ср. с решением задачи 13а)). Если же перетянула чашка с монетами 1, 2, 3, то фальшивая монета тяжелее настоящих; и в этом случае ее легко определить одним взвешиванием.
2. При первом взвешивании одна из чашек весов перетянула. Тогда все монеты в оставшейся группе - настоящие. Обозначим монеты, лежавшие на перетянувшей чашке, через 1, 2, 3, 4 (если одна из этих монет фальшивая, то она тяжелее настоящих), а монеты на другой чашке - через $1^{ \prime}, 2^{ \prime}, 3^{ \prime}, 4^{ \prime}$ (если одна из этих монет фальшивая, то она легче настоящих). При втором взвешивании поместим на одну чашку монеты 1, 2 и $1^{ \prime}$, а на другую - монеты 3, 4 и $2^{ \prime}$. Возможны опять-таки различные случаи:
А) Чашки уравновесились. Тогда фальшивая одна из монет $3^{ \prime}$ или $4^{ \prime}$ (и при этом она легче настоящих). При третьем взвешивании поместим на одну чашку весов монету $3^{ \prime}$, а на вторую - монету $4^{ \prime}$; та из этих монет, которая окажется легче другой, и будет фальшивой.
Б) Перетянула чашка с монетами $1, 2, 1^{ \prime}$. В этом случае монеты 3, 4 и $1^{ \prime}$ - настоящие; в самом деле, если бы одна из монет 3, 4 была бы тяжелее остальных или монета $1^{ \prime}$ была бы легче остальных, то при втором взвешивании чашка, на которой лежат монеты 3, 4 и 2 должна была бы перетянуть, чего на самом деле не случилось.
Итак, фальшивой является одна из монет 1, 2 (в этом случае фальшивая монета тяжелее настоящих) или $2^{ \prime}$ (в этом случае фальшивая монета легче настоящих). Положим при третьем взвешивании на одну чашку монету 1, а на другую - монету 2. Если чашки уравновесились, то фальшивая монета $2^{ \prime}$, а если одна из чашек перетянула, то на перетянувшей чашке лежит фальшивая монета.
В) Перетянула чашка с монетами $3, 4, 2^{ \prime}$. Рассуждая аналогично предыдущему, мы заключаем, что монеты 1, 2 и $2^{ \prime}$ - настоящие и что либо одна из монет 3, 4 фальшивая и тяжелее настоящих, либо монета $1^{ \prime}$ фальшивая и легче настоящих. При третьем взвешивании положим на одну чашку монету 3, а на другую - монету 4. Если весы уравновесились, то фальшивая монета 1. Если же одна из чашек перетянула, то на ней и находится фальшивая монета.
Ответ: При первом взвешивании поместите на каждую чашку весов по четыре монеты.
