Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 272
2014-06-07 
Доказать, что для любого выпуклого четырехугольника отношение наибольшего из расстояний между его вершинами к наименьшему из них не меньше $\sqrt{2}$.
Решение:
Пусть M - наибольшее, а m - наименьшее из расстояний между вершинами четырехугольника. Поскольку хотя бы один из его углов, скажем угол ABC, не является острым, то по теореме косинусов имеем
$M^{2} \geq AC^{2} \geq AB^{2} + BC^{2} \geq m^{2} + m^{2} = 2m^{2}$,
откуда
$M \geq \sqrt{2} m$, или $M/m \geq \sqrt{2}$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что для любого выпуклого четырехугольника отношение наибольшего из расстояний между его вершинами к наименьшему из них не меньше $\sqrt{2}$.
Решение:
Пусть M - наибольшее, а m - наименьшее из расстояний между вершинами четырехугольника. Поскольку хотя бы один из его углов, скажем угол ABC, не является острым, то по теореме косинусов имеем
$M^{2} \geq AC^{2} \geq AB^{2} + BC^{2} \geq m^{2} + m^{2} = 2m^{2}$,
откуда
$M \geq \sqrt{2} m$, или $M/m \geq \sqrt{2}$,
что и требовалось доказать.
