Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 271
2014-06-07 
Доказать, что для любой точки О, лежащей на стороне АВ треугольника ABC и не совпадающей с его вершинами, справедливо неравенство
$OC \cdot AB < OA \cdot BC + OB \cdot AC$.
Решение:
Поскольку
$\overrightarrow{AO} = x \cdot \overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{OB} = (1 - x) \cdot \overrightarrow{AB}$,
где $x \in (0; 1)$, то имеем (рис.)
$OC = |\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{CA} + x(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA})| = |(1 - x) \overrightarrow{CA} + x \overrightarrow{CB}| < CA(1 - x) + CBx$
(ибо векторы $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$ не параллельны), откуда получаем
$OC \cdot AB < AC(1 - x)AB + CBxAB = CA \cdot OB + CB \cdot OA$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что для любой точки О, лежащей на стороне АВ треугольника ABC и не совпадающей с его вершинами, справедливо неравенство
$OC \cdot AB < OA \cdot BC + OB \cdot AC$.
Решение:
Поскольку
$\overrightarrow{AO} = x \cdot \overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{OB} = (1 - x) \cdot \overrightarrow{AB}$,
где $x \in (0; 1)$, то имеем (рис.)
$OC = |\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{CA} + x(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA})| = |(1 - x) \overrightarrow{CA} + x \overrightarrow{CB}| < CA(1 - x) + CBx$
(ибо векторы $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$ не параллельны), откуда получаем
$OC \cdot AB < AC(1 - x)AB + CBxAB = CA \cdot OB + CB \cdot OA$,
что и требовалось доказать.
