Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2702
2019-04-01 
Каждую сторону выпуклого $n$-угольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на ее длину (рис.). Оказалось, что концы построенных отрезков являются вершинами правильного $n$-угольника. Докажите, что исходный $n$-угольник правильный.
Решение:
Очевидно, что из правильного многоугольника $A_1A_2 \cdots A_n$ после продолжения сторон получится правильный многоугольник $B_1B_2 \cdots B_n$. Поскольку все правильные $n$-угольники подобны, то любой из них можно получить такой процедурой из некоторого правильного $n$-угольника. Осталось доказать, что по многоугольнику $B_1B_2 \cdots B_n$ многоугольник $A_1A_2 \cdots A_n$ определяется однозначно.
Пусть многоугольник $B_1B_2 \cdots B_n$ получен указанным способом из многоугольника $A_1A_2 \cdots A_n$, и при этом точка $A_2$ - середина отрезка $A_1B_1$, точка $A_3$ - середина отрезка $A_2B_2, \cdots$, точка $A$, - середина отрезка $A_nB_n$.
Докажем, что ни из какого другого многоугольника, кроме $A_1A_2 \cdots A_n$, многоугольник $B_1B_2 \cdots B_n$ не мог получиться описанным в задаче способом. Поместим в точки $B_1B_2, \cdots B_n$ грузики массами $1, 2, \cdots , 2^{n - 1}$ и покажем, что точка $A_1$ - центр масс этой системы. Для этого поместим в точку $A_1$ грузик массы 1. Теперь центр масс точек $A_1$ и $В_1$, находится в точке $A_2$. Поэтому можно убрать грузики из точек $A_1$ и $В_1$, поместив грузик массы 2 в точку $A_2$. Аналогично, заметим, что центр масс точек $A_2$ и $В_2$ находится в точке $A_3$, и уберём грузики из точек $A_2$ и $В_2$, поместив грузик массы 4 в центр масс - точку $A_3$. В конце концов центр масс оказывается в точке $A_1$. Значит, и центр масс исходной системы находится там же. Поскольку центр масс определяется по системе масс однозначно, точка $A_1$, определена однозначно. Следовательно, и весь многоугольник $A_1A_2 \cdots A_n$ однозначно определён многоугольником $В_1В_2 \cdots В_n$.
Единственность можно доказать и по-другому. При гомотетии с центром $В$, и коэффициентом 1/2 точка $A$, переходит в $A_2$. При гомотетии с центром $В_2$ и коэффициентом 1/2 точка $A_2$ переходит в $A_3$, и т. д. При гомотетии с центром $В_n$ и коэффициентом 1/2 точка $A_n$ перейдёт в $A_1$. Значит, точка $A_1$ переходит в себя при композиции гомотетий. Как известно, композиция $n$ гомотетий с коэффициентом 1/2 является гомотетией с коэффициентом $\frac{1}{2^n}$ и центром, однозначно определяемым центрами этих гомотетий. Значит, точка $A_1$ определена однозначно.
Каждую сторону выпуклого $n$-угольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на ее длину (рис.). Оказалось, что концы построенных отрезков являются вершинами правильного $n$-угольника. Докажите, что исходный $n$-угольник правильный.
Решение:
Очевидно, что из правильного многоугольника $A_1A_2 \cdots A_n$ после продолжения сторон получится правильный многоугольник $B_1B_2 \cdots B_n$. Поскольку все правильные $n$-угольники подобны, то любой из них можно получить такой процедурой из некоторого правильного $n$-угольника. Осталось доказать, что по многоугольнику $B_1B_2 \cdots B_n$ многоугольник $A_1A_2 \cdots A_n$ определяется однозначно.
Пусть многоугольник $B_1B_2 \cdots B_n$ получен указанным способом из многоугольника $A_1A_2 \cdots A_n$, и при этом точка $A_2$ - середина отрезка $A_1B_1$, точка $A_3$ - середина отрезка $A_2B_2, \cdots$, точка $A$, - середина отрезка $A_nB_n$.
Докажем, что ни из какого другого многоугольника, кроме $A_1A_2 \cdots A_n$, многоугольник $B_1B_2 \cdots B_n$ не мог получиться описанным в задаче способом. Поместим в точки $B_1B_2, \cdots B_n$ грузики массами $1, 2, \cdots , 2^{n - 1}$ и покажем, что точка $A_1$ - центр масс этой системы. Для этого поместим в точку $A_1$ грузик массы 1. Теперь центр масс точек $A_1$ и $В_1$, находится в точке $A_2$. Поэтому можно убрать грузики из точек $A_1$ и $В_1$, поместив грузик массы 2 в точку $A_2$. Аналогично, заметим, что центр масс точек $A_2$ и $В_2$ находится в точке $A_3$, и уберём грузики из точек $A_2$ и $В_2$, поместив грузик массы 4 в центр масс - точку $A_3$. В конце концов центр масс оказывается в точке $A_1$. Значит, и центр масс исходной системы находится там же. Поскольку центр масс определяется по системе масс однозначно, точка $A_1$, определена однозначно. Следовательно, и весь многоугольник $A_1A_2 \cdots A_n$ однозначно определён многоугольником $В_1В_2 \cdots В_n$.
Единственность можно доказать и по-другому. При гомотетии с центром $В$, и коэффициентом 1/2 точка $A$, переходит в $A_2$. При гомотетии с центром $В_2$ и коэффициентом 1/2 точка $A_2$ переходит в $A_3$, и т. д. При гомотетии с центром $В_n$ и коэффициентом 1/2 точка $A_n$ перейдёт в $A_1$. Значит, точка $A_1$ переходит в себя при композиции гомотетий. Как известно, композиция $n$ гомотетий с коэффициентом 1/2 является гомотетией с коэффициентом $\frac{1}{2^n}$ и центром, однозначно определяемым центрами этих гомотетий. Значит, точка $A_1$ определена однозначно.
