Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2701
2019-04-01 
Найдите длину ребра наибольшего правильного октаэдра, который можно поместить внутрь правильного тетраэдра с ребром длины 1.
Решение:
Довольно просто построить искомый октаэдр. Соединим середины рёбер тетраэдра. Получится вписанный правильный октаэдр, длина его ребра равна 1/2. Только расположен он не совсем «привычно» - он лежит на боковой грани (рис.).
Сложнее доказать, что нельзя поместить больший октаэдр. Приведём наиболее эффектное доказательство. Заметим, что вписанная сфера тетраэдра является одновременно и вписанной сферой построенного нами октаэдра (радиус этой сферы равен $h/4$, расстояние между противоположными гранями октаэдра равно $h/2$, где $h4 - высота тетраэдра). Но если предположить, что можно поместить в тетраэдр больший октаэдр, то получается, что можно поместить в него и сферу, большую вписанной! Противоречие.
Ответ: 1/2.
Найдите длину ребра наибольшего правильного октаэдра, который можно поместить внутрь правильного тетраэдра с ребром длины 1.
Решение:
Довольно просто построить искомый октаэдр. Соединим середины рёбер тетраэдра. Получится вписанный правильный октаэдр, длина его ребра равна 1/2. Только расположен он не совсем «привычно» - он лежит на боковой грани (рис.).
Сложнее доказать, что нельзя поместить больший октаэдр. Приведём наиболее эффектное доказательство. Заметим, что вписанная сфера тетраэдра является одновременно и вписанной сферой построенного нами октаэдра (радиус этой сферы равен $h/4$, расстояние между противоположными гранями октаэдра равно $h/2$, где $h4 - высота тетраэдра). Но если предположить, что можно поместить в тетраэдр больший октаэдр, то получается, что можно поместить в него и сферу, большую вписанной! Противоречие.
Ответ: 1/2.
