Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2700
2019-04-01 
Можно ли клетчатый прямоугольник $5 \times 7$ покрыть «уголками» из трех клеток так, чтобы все клетки были покрыты одним числом слоев?
Решение:
Запишем в клетки прямоугольника $5 \times 7$ числа 1 и -2 так, как показано на рис. Предположим, что для некоторого натурального числа к существует покрытие прямоугольника уголками в $k$ слоёв. Теперь заметим, что для каждого уголка сумма чисел в клетках, которые он покрывает, неотрицательна, поэтому и общая сумма для всех уголков тоже неотрицательна. С другой стороны, эта общая сумма в $к$ раз больше суммы чисел на рис., т. е. она равна
$(23 \cdot 1 + 12 \cdot (-2)) \cdot k = - k < 0$.
Противоречие. Следовательно, такого покрытия не существует.
Замечание. Интересно, что клетчатые прямоугольники «почти всех размеров» можно покрыть описанным в задаче образом, так как большинство из них можно составить из фигур $2 \times 2$ (покрываются уголками в два слоя), $2 \times 3$ (покрываются уголками в один слой) и уголков. Исключение составляют прямоугольники вида $1 \times n$, $3 \times (2n + 1)$, а также прямоугольники $5 \times 5$ и $5 \times 7$.
Можно ли клетчатый прямоугольник $5 \times 7$ покрыть «уголками» из трех клеток так, чтобы все клетки были покрыты одним числом слоев?
Решение:
Запишем в клетки прямоугольника $5 \times 7$ числа 1 и -2 так, как показано на рис. Предположим, что для некоторого натурального числа к существует покрытие прямоугольника уголками в $k$ слоёв. Теперь заметим, что для каждого уголка сумма чисел в клетках, которые он покрывает, неотрицательна, поэтому и общая сумма для всех уголков тоже неотрицательна. С другой стороны, эта общая сумма в $к$ раз больше суммы чисел на рис., т. е. она равна
$(23 \cdot 1 + 12 \cdot (-2)) \cdot k = - k < 0$.
Противоречие. Следовательно, такого покрытия не существует.
Замечание. Интересно, что клетчатые прямоугольники «почти всех размеров» можно покрыть описанным в задаче образом, так как большинство из них можно составить из фигур $2 \times 2$ (покрываются уголками в два слоя), $2 \times 3$ (покрываются уголками в один слой) и уголков. Исключение составляют прямоугольники вида $1 \times n$, $3 \times (2n + 1)$, а также прямоугольники $5 \times 5$ и $5 \times 7$.
