Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2699
2019-04-01 
Даны две параболы $y = a(x-b)^2$ и $y = c(x-d)^2$ (парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой). Докажите, что если фокус первой параболы лежит на второй параболе, то фокус второй лежит на первой.
Решение:
Эту задачу можно решить путём несложных вычислений. Мы же приведём изящное геометрическое решение.
Пусть окружность $\omega$ с центром в точке $O$ касается прямой $l$. Тогда множество центров окружностей, касающихся $\omega$ и $l$ образует параболу с фокусом $O$ (по геометрическому определению параболы).
Рассмотрим теперь две параболы с фокусами $O_1$ и $O_2$, касающиеся прямой $l$ (пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ - ассоциированные с ними окружности). Так как точка $O_2$ лежит на первой параболе, окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются друг друга, а это и означает, что точка $O_1$ лежит на второй параболе (рис.).
Даны две параболы $y = a(x-b)^2$ и $y = c(x-d)^2$ (парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой). Докажите, что если фокус первой параболы лежит на второй параболе, то фокус второй лежит на первой.
Решение:
Эту задачу можно решить путём несложных вычислений. Мы же приведём изящное геометрическое решение.
Пусть окружность $\omega$ с центром в точке $O$ касается прямой $l$. Тогда множество центров окружностей, касающихся $\omega$ и $l$ образует параболу с фокусом $O$ (по геометрическому определению параболы).
Рассмотрим теперь две параболы с фокусами $O_1$ и $O_2$, касающиеся прямой $l$ (пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ - ассоциированные с ними окружности). Так как точка $O_2$ лежит на первой параболе, окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются друг друга, а это и означает, что точка $O_1$ лежит на второй параболе (рис.).
