Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2698
2019-04-01 
У куба отметили все вершины и центры всех граней (всего 14 точек). Оказалось, что расстояние от любой из этих точек до некоторой плоскости принимает лишь два различных значения, меньшее из которых равно 1. Найдите длину ребра куба.
Решение:
Рассмотрим три диагонали граней куба, выходящие из одной вершины. Хотя бы одна из них непараллельна заданной плоскости. Пусть это диагональ $AC$, $O$ - её середина (рис.). Тогда заданная плоскость должна пересекать $AC$, причём она должна проходить через середину одного из отрезков $AO$ или $CO$.
В противном случае все расстояния от $A, O$ и $C$ до этой плоскости различны. (Поскольку минимальное расстояние равно 1, плоскость не может проходить ни через одну из этих точек.) И вообще, любую диагональ любой грани заданная плоскость либо пересекает указанным образом, либо параллельна ей. Теперь нетрудно прийти к выводу, что возможны только два случая:
1) заданная плоскость параллельна двум граням куба и делит перпендикулярные ей рёбра куба в отношении 1:3 (рис.);
2) заданная плоскость пересекает куб по правильному шестиугольнику, вершинами которого являются середины соответствующих рёбер куба (рис.).
В первом случае ребро куба равно 4, во втором - $2 \sqrt{3}$.
У куба отметили все вершины и центры всех граней (всего 14 точек). Оказалось, что расстояние от любой из этих точек до некоторой плоскости принимает лишь два различных значения, меньшее из которых равно 1. Найдите длину ребра куба.
Решение:
Рассмотрим три диагонали граней куба, выходящие из одной вершины. Хотя бы одна из них непараллельна заданной плоскости. Пусть это диагональ $AC$, $O$ - её середина (рис.). Тогда заданная плоскость должна пересекать $AC$, причём она должна проходить через середину одного из отрезков $AO$ или $CO$.
В противном случае все расстояния от $A, O$ и $C$ до этой плоскости различны. (Поскольку минимальное расстояние равно 1, плоскость не может проходить ни через одну из этих точек.) И вообще, любую диагональ любой грани заданная плоскость либо пересекает указанным образом, либо параллельна ей. Теперь нетрудно прийти к выводу, что возможны только два случая:
1) заданная плоскость параллельна двум граням куба и делит перпендикулярные ей рёбра куба в отношении 1:3 (рис.);
2) заданная плоскость пересекает куб по правильному шестиугольнику, вершинами которого являются середины соответствующих рёбер куба (рис.).
В первом случае ребро куба равно 4, во втором - $2 \sqrt{3}$.
