Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2695
2019-04-01 
Конечное множество $M$ точек плоскости обладает следующим свойством: для любых точек $A$ и $B$, принадлежащих $M$, существует такая точка $C$ из $M$, что $\angle ACB = \alpha$. При каких $\alpha$ это возможно? Докажите, что существует $\alpha$-множество $M$, состоящее из сколь угодно большого числа точек.
Решение:
Возьмём две наиболее удалённые друг от друга точки $A$ и $B$. Тогда $\angle ACB \geq 60^{\circ}$. Если же расстояние между $A$ и $B$ наименьшее, то $\angle ACB \leq 60^{\circ}$. Отсюда $\alpha = 60^{\circ}$. Примером такого множества являются вершины правильного треугольника.
Построить $\alpha$-множество из сколь угодно большого числа точек можно, например, так. Разделим каждую сторону правильного треугольника на $n$ равных частей и проведём через эти точки прямые, параллельные сторонам треугольника (рис.). Проверьте, что все вершины получившихся маленьких правильных треугольничков составляют $\alpha$ - множество из $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ точек.
Конечное множество $M$ точек плоскости обладает следующим свойством: для любых точек $A$ и $B$, принадлежащих $M$, существует такая точка $C$ из $M$, что $\angle ACB = \alpha$. При каких $\alpha$ это возможно? Докажите, что существует $\alpha$-множество $M$, состоящее из сколь угодно большого числа точек.
Решение:
Возьмём две наиболее удалённые друг от друга точки $A$ и $B$. Тогда $\angle ACB \geq 60^{\circ}$. Если же расстояние между $A$ и $B$ наименьшее, то $\angle ACB \leq 60^{\circ}$. Отсюда $\alpha = 60^{\circ}$. Примером такого множества являются вершины правильного треугольника.
Построить $\alpha$-множество из сколь угодно большого числа точек можно, например, так. Разделим каждую сторону правильного треугольника на $n$ равных частей и проведём через эти точки прямые, параллельные сторонам треугольника (рис.). Проверьте, что все вершины получившихся маленьких правильных треугольничков составляют $\alpha$ - множество из $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ точек.
