Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2694
2019-04-01 
Точки $M, H$ и $O$ - середина стороны $AB$, основание высоты $AH$ и центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ соответственно. Прямые $CO$ и $HM$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $\angle AKC=90^{\circ}$.
Решение:
С одной стороны,
$\angle ACK = \angle ACO = \frac {180^{ \circ} - \angle AOC}{2} = \frac {180^{\circ} - 2 \angle B}{2} = 90^{\circ} - \angle B$
(рис.). С другой стороны, поскольку треугольник $AHM$ равнобедренный ($AM = HM$),
$\angle AHK = \angle HAM = 90^{\circ } - \angle B$.
Значит, $\angle ACK = \angle AHK$, и поэтому точки $А, С, H$ и $К$ лежат на одной окружности. Отсюда следует, что $\angle AKC = \angle AHC = 90^{\circ}$.
Точки $M, H$ и $O$ - середина стороны $AB$, основание высоты $AH$ и центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ соответственно. Прямые $CO$ и $HM$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $\angle AKC=90^{\circ}$.
Решение:
С одной стороны,
$\angle ACK = \angle ACO = \frac {180^{ \circ} - \angle AOC}{2} = \frac {180^{\circ} - 2 \angle B}{2} = 90^{\circ} - \angle B$
(рис.). С другой стороны, поскольку треугольник $AHM$ равнобедренный ($AM = HM$),
$\angle AHK = \angle HAM = 90^{\circ } - \angle B$.
Значит, $\angle ACK = \angle AHK$, и поэтому точки $А, С, H$ и $К$ лежат на одной окружности. Отсюда следует, что $\angle AKC = \angle AHC = 90^{\circ}$.
