Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2692
2019-04-01 
Можно ли в сферу вписать невыпуклый многогранник? (Напомним, что вписанным является многогранник, все вершины которого лежат на сфере.)
Решение:
Рассмотрим какую-нибудь большую окружность сферы («экватор») и правильный треугольник $ABC$, вписанный в эту окружность. Возьмём на сфере две точки $D$ и $D^{ \prime}$, симметричные относительно плоскости $ABC$, такие, что отрезок $DD^{ \prime}$ не пересекает треугольник $ABC$: для этого достаточно, чтобы проекции точек $D$ и $D^{ \prime}$ на плоскость $ABC$ «попадали» в один из сегментов, заштрихованных на рис. Многогранник $ABCDD^{ \prime}$ (два «склеенных» тетраэдра $ABCD$ и $ABCD^{ \prime}$) служит искомым примером.
Ответ: можно.
Можно ли в сферу вписать невыпуклый многогранник? (Напомним, что вписанным является многогранник, все вершины которого лежат на сфере.)
Решение:
Рассмотрим какую-нибудь большую окружность сферы («экватор») и правильный треугольник $ABC$, вписанный в эту окружность. Возьмём на сфере две точки $D$ и $D^{ \prime}$, симметричные относительно плоскости $ABC$, такие, что отрезок $DD^{ \prime}$ не пересекает треугольник $ABC$: для этого достаточно, чтобы проекции точек $D$ и $D^{ \prime}$ на плоскость $ABC$ «попадали» в один из сегментов, заштрихованных на рис. Многогранник $ABCDD^{ \prime}$ (два «склеенных» тетраэдра $ABCD$ и $ABCD^{ \prime}$) служит искомым примером.
Ответ: можно.
