Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2691
2019-04-01 
$F$ и $E$ - точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности и сторон $AB$ и $BC$ соответственно, $K$ и $M$ - середины сторон $BC$ и $AC$ (рис.). Отрезки $FE$ и $KM$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что $AN$ - биссектриса угла $A$ треугольника.
Решение:
Введём обозначения для длин отрезков касательных (): $AF = a, BF = BE = b, СЕ = с (b > с)$. Тогда $KE = b - \frac{b+c}{2} = \frac{b-c}{2}$. Поскольку $КМ$ - средняя линия, треугольники $KNE$ и $BFE$ подобны. Поэтому $KN = KE = \frac{b-c}{2}, KM = \frac{a+b}{2}$. Рассмотрим треугольник $AMN$. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку
$NM = KM - KN = \frac{a+b}{2} - \frac{b-c}{2} = \frac{a+c}{2} = AM$.
Следовательно, $\angle NAM = \frac{1}{2} \angle NMC = \frac{1}{2} \angle BAC$, т. е. $AN$ - биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$.
$F$ и $E$ - точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности и сторон $AB$ и $BC$ соответственно, $K$ и $M$ - середины сторон $BC$ и $AC$ (рис.). Отрезки $FE$ и $KM$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что $AN$ - биссектриса угла $A$ треугольника.
Решение:
Введём обозначения для длин отрезков касательных (
$NM = KM - KN = \frac{a+b}{2} - \frac{b-c}{2} = \frac{a+c}{2} = AM$.
Следовательно, $\angle NAM = \frac{1}{2} \angle NMC = \frac{1}{2} \angle BAC$, т. е. $AN$ - биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$.
