Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2690
2019-04-01 
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $M$ - середина стороны $AC$. Оказалось, что треугольник $BOM$ равнобедренный с углом при вершине $\gamma$. Найдите наименьшее возможное значение $\gamma$.
Решение:
Без ограничения общности будем считать, что $\angle A > \angle C$. Пусть $E$ и $F$ - точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$ и $AC$ соответственно (рис.), $AF < AM$ в силу предположения $\angle A > \angle C$. Поскольку $OB = ОМ$ (по условию), a $OE = OF$ (как радиусы), прямоугольные треугольники $OEB$ и $OFM$ равны. Отсюда следует, что $EB = FM$. Далее, $AE = AF$ (как касательные), поэтому $AB = AE + EB = AF + FM = AM = \frac{AC}{2}$. Заметим, что $\angle BOM = 360^{\circ} - 2 \angle AOB = 360^{\circ} - 2 \left ( 90^{\circ} + \frac{ \angle ACB}{2} \right ) = 180^{\circ} - \angle ACB$. Поэтому наименьшему значению $\gamma = \angle BOM$ соответствует наибольшее значение угла $ACB$. Отношение $\frac{AC}{AB} = 2$ неизменно, так что при фиксированной длине отрезка $AC$ точка $B$ расположена на окружности с центром $A$. Поэтому значение угла $ACB$ максимально, когда $BC$ - касательная к этой окружности, т. е. когда $AB \perp BC$ (рис.). Катет $AB$ вдвое меньше гипотенузы $АС$, значит, $\angle ACB = 30^{\circ}$.
Ответ: минимальное значение $\gamma$ равно $150^{\circ}$.
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $M$ - середина стороны $AC$. Оказалось, что треугольник $BOM$ равнобедренный с углом при вершине $\gamma$. Найдите наименьшее возможное значение $\gamma$.
Решение:
Без ограничения общности будем считать, что $\angle A > \angle C$. Пусть $E$ и $F$ - точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$ и $AC$ соответственно (рис.), $AF < AM$ в силу предположения $\angle A > \angle C$. Поскольку $OB = ОМ$ (по условию), a $OE = OF$ (как радиусы), прямоугольные треугольники $OEB$ и $OFM$ равны. Отсюда следует, что $EB = FM$. Далее, $AE = AF$ (как касательные), поэтому $AB = AE + EB = AF + FM = AM = \frac{AC}{2}$. Заметим, что $\angle BOM = 360^{\circ} - 2 \angle AOB = 360^{\circ} - 2 \left ( 90^{\circ} + \frac{ \angle ACB}{2} \right ) = 180^{\circ} - \angle ACB$. Поэтому наименьшему значению $\gamma = \angle BOM$ соответствует наибольшее значение угла $ACB$. Отношение $\frac{AC}{AB} = 2$ неизменно, так что при фиксированной длине отрезка $AC$ точка $B$ расположена на окружности с центром $A$. Поэтому значение угла $ACB$ максимально, когда $BC$ - касательная к этой окружности, т. е. когда $AB \perp BC$ (рис.). Катет $AB$ вдвое меньше гипотенузы $АС$, значит, $\angle ACB = 30^{\circ}$.
Ответ: минимальное значение $\gamma$ равно $150^{\circ}$.
