ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади не больше $\sqrt{3}$.


Решение:



Пусть в остроугольном треугольнике ABC площади 1 угол при вершине А наибольший. Проведем окружность с центром в середине М стороны ВС и радиусом R = MA, которая пересекает прямую ВС в точках D и Е (рис.). Тогда угол DAE примой и $a = MB = MC < R$
иначе $MB \geq MD, MC \geq ME$, откуда $\angle BAC \geq \angle DAE = 90^{\circ}$, что противоречит остроугольности треугольника ABC). Хоти бы один из углов АМС или АМВ не является острым, например $\angle AMB = \alpha \geq 90^{\circ}$. Так как $AB \leq BC = 2a$ (ибо $\angle BAC \geq \angle ACB$), то по теореме косинусов имеем
$R^{2} + a^{2} = MA^{2} + MB^{2} \leq MA^{2} + MB^{2} – 2MA \cdot MB \cos \alpha = AB^{2} \leq 4a^{2}$,
откуда $R < \sqrt{3}a$ и
$S_{ADE} = (1/2)DE \cdot AH = R \cdot AH \leq \sqrt{3}a \cdot AH = \sqrt{3} \cdot (1/2) BC \cdot AH = \sqrt{3}$
где AH - перпендикуляр к прямой ВС). Утверждение доказано.