Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2689
2019-04-01 
Точки $K, M, N$ - середины сторон $AB, CD, AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соответственно; $L$ - середина отрезка $AN$ (рис.). Оказалось, что прямые $AM, BN, CL$ и $DK$ пересекаются в одной точке $O$. Докажите, что ломаная $BOM$ делит четырёхугольник на две равные по площади фигуры.
Решение:
Заметим, что $DK$ и $BN$ - медианы треугольника $ABD$. Следовательно, $AM$ также является медианой, точка $F$ (середина $BD$) лежит на $AM$ (рис.). Медианы делят треугольник на шесть треугольников равной площади $2S$. Пусть точка $E$ симметрична $O$ относительно $L$. Тогда $EN \parallel AO \parallel BC$, так как $AONE$ - параллелограмм, $FM$ - средняя линия треугольника $DBC$. Отсюда следует, что треугольники $OBC$ и $ONE$ подобны с коэффициентом подобия $\frac{OB}{ON} = 2$. Поэтому
$S_{OBC} = 4S_{ONE} = 8S = S_{ABOD}$. (*)
Кроме того,
$S_{COM} = S_{DOM}$ (**)
(поскольку $M$ - середина $CD$). Складывая равенства (*) и (**), получаем утверждение задачи.
Точки $K, M, N$ - середины сторон $AB, CD, AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соответственно; $L$ - середина отрезка $AN$ (рис.). Оказалось, что прямые $AM, BN, CL$ и $DK$ пересекаются в одной точке $O$. Докажите, что ломаная $BOM$ делит четырёхугольник на две равные по площади фигуры.
Решение:
Заметим, что $DK$ и $BN$ - медианы треугольника $ABD$. Следовательно, $AM$ также является медианой, точка $F$ (середина $BD$) лежит на $AM$ (рис.). Медианы делят треугольник на шесть треугольников равной площади $2S$. Пусть точка $E$ симметрична $O$ относительно $L$. Тогда $EN \parallel AO \parallel BC$, так как $AONE$ - параллелограмм, $FM$ - средняя линия треугольника $DBC$. Отсюда следует, что треугольники $OBC$ и $ONE$ подобны с коэффициентом подобия $\frac{OB}{ON} = 2$. Поэтому
$S_{OBC} = 4S_{ONE} = 8S = S_{ABOD}$. (*)
Кроме того,
$S_{COM} = S_{DOM}$ (**)
(поскольку $M$ - середина $CD$). Складывая равенства (*) и (**), получаем утверждение задачи.
