Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2688
2019-04-01 
На доске написаны числа $1, 2, 3, \cdots, 200$. Вася стирает произвольные два числа и записывает на доску их сумму, делённую на $\sqrt{2}$. И продолжает так до тех пор, пока на доске не останется одно число. Докажите, что оно меньше 2000.
Решение:
Заметим, что в результате указанной операции сумма квадратов чисел, записанных на доске, не увеличивается, поскольку
$\left (\frac {a+b}{\sqrt{2}} \right )^2 \leq a^2 + b^2$.
Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить обе части на 2, получив неравенство $(a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)$, которое сводится к верному неравенству $0 \leq (a - b)^2$.
Число $x$, которое в конце концов останется на доске, удовлетворяет неравенству
$x^2 \leq 1^2 + 2^2 + \cdots + 200^2 = \frac {200 \cdot 201 \cdot 401}{2} < 2000^2$.
На доске написаны числа $1, 2, 3, \cdots, 200$. Вася стирает произвольные два числа и записывает на доску их сумму, делённую на $\sqrt{2}$. И продолжает так до тех пор, пока на доске не останется одно число. Докажите, что оно меньше 2000.
Решение:
Заметим, что в результате указанной операции сумма квадратов чисел, записанных на доске, не увеличивается, поскольку
$\left (\frac {a+b}{\sqrt{2}} \right )^2 \leq a^2 + b^2$.
Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить обе части на 2, получив неравенство $(a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)$, которое сводится к верному неравенству $0 \leq (a - b)^2$.
Число $x$, которое в конце концов останется на доске, удовлетворяет неравенству
$x^2 \leq 1^2 + 2^2 + \cdots + 200^2 = \frac {200 \cdot 201 \cdot 401}{2} < 2000^2$.
