Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2687
2019-04-01 
Внутри параболы $y = x^2$ расположены окружности $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \cdots$ так, что при каждом $n > 1$ окружность $\omega_n$ касается ветвей параболы и окружности $\omega_{n-1}$ (рис.). Найдите радиус окружности $\omega_{1998}$, если известно, что радиус $\omega_1$ равен 1 и она касается параболы в её вершине.
Решение:
Ответ: 1997,5.
Пусть $r_n$ - радиус окружности $\omega_{n}$; $S_n = r_1 + r_2 + \cdots + r_n$. Тогда уравнение окружности $\omega_{n+1}$ имеет вид
$x^2 + (y - (2S_n + r_{n+1})^2 = r_{n+1}^2$.
Условие касания окружности $\omega_{n+1}$ и параболы $y = х^2$ означает, что уравнение
$y +(y -(2S_n + r_{n+1}))^2 = r_{n+1}^2$,
$y^2 - y (4S_n + 2r_{n+1} - 1) + 4S_n(S_n + r_{n+1}) = 0$,
имеет один корень, т. е. его дискриминант
$(4S_n + 2r_{n+1} - 1)^2 - 16S_n(S_n + r_{n+1}) = 16S_n^2 + 8S_n(2r_{n+1} - 1) + (2r_{n+1} - 1)^2 -16S_n - 16S_nr_{n+1} = (2r_{n+1} -1)^2 - 8S_n$
равен нулю. Значит, $r_{n+1} = \frac {\sqrt {8 S_n} + 1}{2}$. Подставляя $n = 1, r_1 = \frac{1}{2}, S_1 = \frac{1}{2}$, находим, что $r_2 = \frac{3}{2}$. Далее, подставляя $n = 2, S_2 = 2$, получаем, что $r_3 = \frac{5}{2}$. Аналогично получаем, что $r_4 = \frac{7}{2}$. Это наводит на мысль, что $r_n = n - \frac{1}{2}$. Проверим это, используя индукцию: если $r_k = k - \frac{1}{2}$ при $k \leq n$, то
$S_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \cdots + \frac {2n-1}{2} = \frac{n^2}{2}$,
$r_{n+1} = \frac {\sqrt {8S_n} + 1}{2} = \frac {\sqrt {4n^2} + 1}{2} = \frac{ 2n+1}{2} = (n+1) - \frac{1}{2}$.
Поэтому для любого $n$ справедлива формула $r_n = n - \frac{1}{2}$. В частности, $r_{1998} = 1997,5$.
Внутри параболы $y = x^2$ расположены окружности $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \cdots$ так, что при каждом $n > 1$ окружность $\omega_n$ касается ветвей параболы и окружности $\omega_{n-1}$ (рис.). Найдите радиус окружности $\omega_{1998}$, если известно, что радиус $\omega_1$ равен 1 и она касается параболы в её вершине.
Решение:
Ответ: 1997,5.
Пусть $r_n$ - радиус окружности $\omega_{n}$; $S_n = r_1 + r_2 + \cdots + r_n$. Тогда уравнение окружности $\omega_{n+1}$ имеет вид
$x^2 + (y - (2S_n + r_{n+1})^2 = r_{n+1}^2$.
Условие касания окружности $\omega_{n+1}$ и параболы $y = х^2$ означает, что уравнение
$y +(y -(2S_n + r_{n+1}))^2 = r_{n+1}^2$,
$y^2 - y (4S_n + 2r_{n+1} - 1) + 4S_n(S_n + r_{n+1}) = 0$,
имеет один корень, т. е. его дискриминант
$(4S_n + 2r_{n+1} - 1)^2 - 16S_n(S_n + r_{n+1}) = 16S_n^2 + 8S_n(2r_{n+1} - 1) + (2r_{n+1} - 1)^2 -16S_n - 16S_nr_{n+1} = (2r_{n+1} -1)^2 - 8S_n$
равен нулю. Значит, $r_{n+1} = \frac {\sqrt {8 S_n} + 1}{2}$. Подставляя $n = 1, r_1 = \frac{1}{2}, S_1 = \frac{1}{2}$, находим, что $r_2 = \frac{3}{2}$. Далее, подставляя $n = 2, S_2 = 2$, получаем, что $r_3 = \frac{5}{2}$. Аналогично получаем, что $r_4 = \frac{7}{2}$. Это наводит на мысль, что $r_n = n - \frac{1}{2}$. Проверим это, используя индукцию: если $r_k = k - \frac{1}{2}$ при $k \leq n$, то
$S_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \cdots + \frac {2n-1}{2} = \frac{n^2}{2}$,
$r_{n+1} = \frac {\sqrt {8S_n} + 1}{2} = \frac {\sqrt {4n^2} + 1}{2} = \frac{ 2n+1}{2} = (n+1) - \frac{1}{2}$.
Поэтому для любого $n$ справедлива формула $r_n = n - \frac{1}{2}$. В частности, $r_{1998} = 1997,5$.
