Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2685
2019-04-01 
Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $O$ касается сторон $AB, BC$ и $AC$ в точках $E, F$ и $G$ соответственно (рис.). Точка $H$ симметрична $G$ относительно $O$. Прямые $EG$ и $HF$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что прямые $BD$ и $AC$ параллельны.
Решение:
Заметим, что $\angle EHD = \angle EGF = \frac{ \angle EOF}{2} = \frac{ 180^{\circ} - \angle B}{2} = 90^{\circ} - \frac{ \angle B}{2}$ (рис.). Угол $DEH$ - прямой, поскольку смежный с ним угол $GEH$ опирается на диаметр $HG$ вписанной окружности. Из прямоугольного треугольника $DEH$, получаем: $\angle EDF = \frac{\angle B}{2}$. Поэтому точка $D$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $BE = BF$. Отсюда $\angle DBE = 2 \angle DFE =2 \angle EGH = \angle EAG$, т. е. прямые $DB$ и $AC$ параллельны.
Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $O$ касается сторон $AB, BC$ и $AC$ в точках $E, F$ и $G$ соответственно (рис.). Точка $H$ симметрична $G$ относительно $O$. Прямые $EG$ и $HF$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что прямые $BD$ и $AC$ параллельны.
Решение:
Заметим, что $\angle EHD = \angle EGF = \frac{ \angle EOF}{2} = \frac{ 180^{\circ} - \angle B}{2} = 90^{\circ} - \frac{ \angle B}{2}$ (рис.). Угол $DEH$ - прямой, поскольку смежный с ним угол $GEH$ опирается на диаметр $HG$ вписанной окружности. Из прямоугольного треугольника $DEH$, получаем: $\angle EDF = \frac{\angle B}{2}$. Поэтому точка $D$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $BE = BF$. Отсюда $\angle DBE = 2 \angle DFE =2 \angle EGH = \angle EAG$, т. е. прямые $DB$ и $AC$ параллельны.
