Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2684
2019-04-01 
Миша составляет различные квадратные трёхчлены $x^2 + ax + b$, выбирая коэффициенты $a$ и $b$ из множества {$1, 2, 3, \cdots, 1997$}. Каких трёхчленов окажется больше: тех, которые имеют целые корни или тех, которые вовсе не имеют (действительных) корней?
Решение:
Пусть $m \leq n$ - целые корни уравнения $x^2 + ax + b = 0$. Тогда из равенств $m + n = -a, mn = b$ (теорема Виета) следует, что $m, n < 0, 1 \leq |n| \leq |m| \leq 1997, 0 < mn \leq 1997$. Рассмотрим уравнение
$x^2 - nx + mn = 0$. Его коэффициенты - целые числа от 1 до 1997,
и оно не имеет корней, так как $D = n^2 - 4mn = n(n - 4m) < 0$.
Итак, среди рассматриваемых уравнений любому уравнению
с целыми корнями можно поставить в соответствие единственное
уравнение, не имеющее корней. Кроме того, все квадратные трёхчлены $x^2+cx+d$, где $c$ - чётно, $d$ - нечётно, $D < 0$, не представимы в виде $x^2 - nx+mn$. Значит, уравнений, не имеющих корней, больше.
Миша составляет различные квадратные трёхчлены $x^2 + ax + b$, выбирая коэффициенты $a$ и $b$ из множества {$1, 2, 3, \cdots, 1997$}. Каких трёхчленов окажется больше: тех, которые имеют целые корни или тех, которые вовсе не имеют (действительных) корней?
Решение:
Пусть $m \leq n$ - целые корни уравнения $x^2 + ax + b = 0$. Тогда из равенств $m + n = -a, mn = b$ (теорема Виета) следует, что $m, n < 0, 1 \leq |n| \leq |m| \leq 1997, 0 < mn \leq 1997$. Рассмотрим уравнение
$x^2 - nx + mn = 0$. Его коэффициенты - целые числа от 1 до 1997,
и оно не имеет корней, так как $D = n^2 - 4mn = n(n - 4m) < 0$.
Итак, среди рассматриваемых уравнений любому уравнению
с целыми корнями можно поставить в соответствие единственное
уравнение, не имеющее корней. Кроме того, все квадратные трёхчлены $x^2+cx+d$, где $c$ - чётно, $d$ - нечётно, $D < 0$, не представимы в виде $x^2 - nx+mn$. Значит, уравнений, не имеющих корней, больше.
