Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2682
2019-04-01 
Олег заменяет звёздочки в выражении $\underbrace{ \sqrt {\ast \sqrt{\ast\sqrt{\cdots\sqrt{\ast}}}} }_{n \:радикалов (n > 1)}$ числами из набора $2^1, 2^2, 2^3, \cdots , 2^n$, используя каждое ровно один раз. Найдите наибольшее целое число, которое он может при этом получить.
Решение:
Заметим, что целое число $K$, которое получается в результате такой замены, может быть лишь степенью двойки. Иначе, возведя $K = \sqrt {\ast \sqrt{\ast\sqrt{\cdots\sqrt{\ast}}}}$ в степень $2^n$, получим противоречие с основной теоремой арифметики.
Заметим также, что $K$ представимо в виде
$2^{ \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \cdots \frac{a_n}{2^n}}$,
где $a_1, a_2, \cdots, a_n$ - некоторая перестановка чисел $1, 2, \cdots, n$, т.е.
$K < 2^{ \frac{n}{2} + \frac{n}{2^2} + \cdots \frac{n}{2^n}} < 2^n$.
Значит, получить целое число, большее $2^{n-1}$ нельзя. Покажем, как получить $2^{n-1}$.
Для $n = 2$: $\sqrt {2 \sqrt {2^2}}$.
Для $n = 3$: $\sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}} = 2^2$.
Для $n = 4$: $\sqrt {2^4 \sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}}} = 2^3$.
Это наводит на мысль, что
$\sqrt {2^n \sqrt {2^{n-1} \sqrt {\cdots \sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}}}}} = 2^{n-1}$.
Проверим это равенство методом математической индукции. Базой являются равенства для $n = 2, 3, 4$. Переход от $n$ к $n+1$: если
$\sqrt {2^n \sqrt {2^{n-1} \sqrt {\cdots \sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}}}}} = 2^{n-1}$,
то
$\sqrt {2^{n+1} \sqrt {2^n \sqrt {2^{n-1} \sqrt {\cdots \sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}}}}}} = \sqrt {2^{n+1} \cdot 2^{n-1}} = 2^n$
Ответ. $2^{n-1}$.
Олег заменяет звёздочки в выражении $\underbrace{ \sqrt {\ast \sqrt{\ast\sqrt{\cdots\sqrt{\ast}}}} }_{n \:радикалов (n > 1)}$ числами из набора $2^1, 2^2, 2^3, \cdots , 2^n$, используя каждое ровно один раз. Найдите наибольшее целое число, которое он может при этом получить.
Решение:
Заметим, что целое число $K$, которое получается в результате такой замены, может быть лишь степенью двойки. Иначе, возведя $K = \sqrt {\ast \sqrt{\ast\sqrt{\cdots\sqrt{\ast}}}}$ в степень $2^n$, получим противоречие с основной теоремой арифметики.
Заметим также, что $K$ представимо в виде
$2^{ \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \cdots \frac{a_n}{2^n}}$,
где $a_1, a_2, \cdots, a_n$ - некоторая перестановка чисел $1, 2, \cdots, n$, т.е.
$K < 2^{ \frac{n}{2} + \frac{n}{2^2} + \cdots \frac{n}{2^n}} < 2^n$.
Значит, получить целое число, большее $2^{n-1}$ нельзя. Покажем, как получить $2^{n-1}$.
Для $n = 2$: $\sqrt {2 \sqrt {2^2}}$.
Для $n = 3$: $\sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}} = 2^2$.
Для $n = 4$: $\sqrt {2^4 \sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}}} = 2^3$.
Это наводит на мысль, что
$\sqrt {2^n \sqrt {2^{n-1} \sqrt {\cdots \sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}}}}} = 2^{n-1}$.
Проверим это равенство методом математической индукции. Базой являются равенства для $n = 2, 3, 4$. Переход от $n$ к $n+1$: если
$\sqrt {2^n \sqrt {2^{n-1} \sqrt {\cdots \sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}}}}} = 2^{n-1}$,
то
$\sqrt {2^{n+1} \sqrt {2^n \sqrt {2^{n-1} \sqrt {\cdots \sqrt {2^3 \sqrt {2 \sqrt {2^2}}}}}}} = \sqrt {2^{n+1} \cdot 2^{n-1}} = 2^n$
Ответ. $2^{n-1}$.
