Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2681
2019-04-01 
Точка $M$ - середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$, точка $N$ - середина отрезка $MD$ (). В каком отношении окружность, описанная около треугольника $BMN$, делит а) сторону $AB$ квадрата, б) отрезок $AM$?
Решение:
а) Пусть $E$ - точка пересечения окружности со стороной $AB$, отличная от $В$. Заметим, что $\angle ENM = 180^{\circ} - \angle EBM = 90^{\circ}$. Поэтому в треугольнике $MED$ отрезок $EN$ является медианой и высотой. Следовательно, треугольник $MED$ является равнобедренным: $EM = ED$ (рис.). Пусть $AB = 1$, обозначим длину отрезка $AE$ через $x$. Тогда, поскольку $EM = ED$, имеем:
$(1 - x)^2 + \left ( \frac{1}{2} \right )^2 = {ЕМ}^2 = {ED}^2 = x^2 + 1$.
Решая полученное уравнение, находим, что $x = \frac{1}{8}$ и $AE \div EB = 1 \div 7$.
б) Пусть $F$ - точка пересечения построенной окружности с отрезком $AM$, отличная от $M$ (рис.). По теореме о произведении секущей на её внешнюю часть имеем: $AE \cdot AB = AF \cdot AM$. Используя пункт а), получаем: $\frac{1}{8} \cdot 1 = АF \cdot \frac{ \sqrt{5}}{2}$, т. е. $АF = \frac{1}{4 \sqrt{5}}$ и $AF \div AM = \frac{1}{4 \sqrt{5}} \div \frac{\sqrt{5}}{2} = 1 \div 10$. Значит, $AF \div FM = 1 \div 9$.
Точка $M$ - середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$, точка $N$ - середина отрезка $MD$ (
Решение:
а) Пусть $E$ - точка пересечения окружности со стороной $AB$, отличная от $В$. Заметим, что $\angle ENM = 180^{\circ} - \angle EBM = 90^{\circ}$. Поэтому в треугольнике $MED$ отрезок $EN$ является медианой и высотой. Следовательно, треугольник $MED$ является равнобедренным: $EM = ED$ (рис.). Пусть $AB = 1$, обозначим длину отрезка $AE$ через $x$. Тогда, поскольку $EM = ED$, имеем:
$(1 - x)^2 + \left ( \frac{1}{2} \right )^2 = {ЕМ}^2 = {ED}^2 = x^2 + 1$.
Решая полученное уравнение, находим, что $x = \frac{1}{8}$ и $AE \div EB = 1 \div 7$.
б) Пусть $F$ - точка пересечения построенной окружности с отрезком $AM$, отличная от $M$ (рис.). По теореме о произведении секущей на её внешнюю часть имеем: $AE \cdot AB = AF \cdot AM$. Используя пункт а), получаем: $\frac{1}{8} \cdot 1 = АF \cdot \frac{ \sqrt{5}}{2}$, т. е. $АF = \frac{1}{4 \sqrt{5}}$ и $AF \div AM = \frac{1}{4 \sqrt{5}} \div \frac{\sqrt{5}}{2} = 1 \div 10$. Значит, $AF \div FM = 1 \div 9$.
