ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-04-01   
Для двух положительных чисел $а$ и $b$ рассмотрим следующие средние:
Известны «неравенства о средних»:

$H = \frac {1}{\frac { \frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2}} = \frac {2ab}{a+b}$ (среднее гармоническое),
$G = \sqrt {ab}$ (среднее геометрическое),
$A = \frac{a+b}{2}$ (среднее арифметическое),
$Q = \sqrt {\frac {a^2+b^2}{2}}$ (среднее квадратическое).

Известны "неравенства о средних": $H \leq G \leq A \leq Q$. А что больше: $HQ$ или $AG$?


Решение:


Имеем:

$AG = \frac{a+b}{2} \cdot \sqrt {ab} \vee \frac {2ab}{a+b} \cdot \sqrt {a^2+b^2}{2} = HQ, \frac {(a+b)^2}{2} \vee \sqrt {2ab (a^2+b^2)}$

(умножили обе части на положительное число $\frac {a+b}{\sqrt ab})$,

$(a+b)^4 \vee 8ab (a^2+b^2)$

(возвели обе части в квадрат и умножили на 4), но

$(a+b)^4 - 8ab(a^2 + b^2) = (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4) -8a^3b - 8ab^3 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 -4ab^3 + b^4 = (a- b)^4 \geq 0$.

Поэтому $(a + b)^4 \geq 8ab(a^2 + b^2)$, и $AG \geq HQ$.
Ответ: $AG \geq HQ$, причём $AG = HQ$ лишь при $a = b$.