Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2679
2019-04-01 
Три окружности проходят через точку $O$ и попарно пересекаются в точках $A, B$ и $C$. Докажите, что если окружность, описанная около треугольника $ABC$, содержит центры двух данных окружностей, то она содержит центр третьей.
Решение:
Пусть окружность $\omega$, описанная около треугольника $ABC$, содержит центры $O_1, O_2$ двух данных окружностей (рис.). Точки $O_1$ и $O_2$ лежат на окружности $\omega$, следовательно,
$\angle AO_1B = 180^{\circ} - \angle C$,
$\angle BO_2C = 180^{\circ} - \angle A$
где $\angle A$ и $\angle C$ - величины углов треугольника $ABC$).
Далее,
$\angle AOB = 90^{\circ} + \frac{ \angle C}{2}, \angle BOC = 90^{\circ} + \frac{ \angle A}{2}$.
Поэтому
$\angle AOC = 360^{\circ} - \angle AOB - \angle BOC= 180^{\circ} - \frac{ \angle C}{2} - \frac{ \angle A}{2}$.
Отсюда следует, что $\angle AO_3C = \angle A + \angle C$. Так как $\angle ABC + \angle AO_3C = \angle A + \angle B + \angle C= 180^{\circ}$, точка $O_3$ тоже лежит на окружности $\omega$.
Три окружности проходят через точку $O$ и попарно пересекаются в точках $A, B$ и $C$. Докажите, что если окружность, описанная около треугольника $ABC$, содержит центры двух данных окружностей, то она содержит центр третьей.
Решение:
Пусть окружность $\omega$, описанная около треугольника $ABC$, содержит центры $O_1, O_2$ двух данных окружностей (рис.). Точки $O_1$ и $O_2$ лежат на окружности $\omega$, следовательно,
$\angle AO_1B = 180^{\circ} - \angle C$,
$\angle BO_2C = 180^{\circ} - \angle A$
где $\angle A$ и $\angle C$ - величины углов треугольника $ABC$).
Далее,
$\angle AOB = 90^{\circ} + \frac{ \angle C}{2}, \angle BOC = 90^{\circ} + \frac{ \angle A}{2}$.
Поэтому
$\angle AOC = 360^{\circ} - \angle AOB - \angle BOC= 180^{\circ} - \frac{ \angle C}{2} - \frac{ \angle A}{2}$.
Отсюда следует, что $\angle AO_3C = \angle A + \angle C$. Так как $\angle ABC + \angle AO_3C = \angle A + \angle B + \angle C= 180^{\circ}$, точка $O_3$ тоже лежит на окружности $\omega$.
