Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2678
2019-04-01 
Таблица $n \times n$ заполнена числами. Оказалось, что сумма чисел в любом «кресте» (объединении некоторой вертикали и некоторой горизонтали) равна нулю. Верно ли, что все числа в таблице равны нулю?
Решение:
Ответ: да, верно.
Рассмотрим произвольную строку $i$ с суммой чисел $s_i$; и все «кресты», которые её содержат. Тогда сумма чисел в заштрихованной на рис. части равна $-s_i$, а сумма всех чисел в таблице равна $s_i - ns_i = - (n - 1)s_i$. Отсюда следует, что сумма чисел в каждой строке одна и та же (обозначим её $s$). Аналогично можно показать, что суммы чисел в каждом столбце все одинаковы и равны $s$. Далее, для произвольного «креста», содержащего строку $i$ и столбец $j$ по условию имеем:
$s + s - a_{ij} = 0$,
где $a_{ij}$ - число, стоящее на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца. Следовательно, $a_{ij} = 2s$, т. е. все элементы в таблице равны между собой (обозначим их через $a$). Наконец, рассматривая произвольный «крест», считаем сумму записанных там чисел:
$(2n-1)a = 0$,
значит, $a = 0$.
Таблица $n \times n$ заполнена числами. Оказалось, что сумма чисел в любом «кресте» (объединении некоторой вертикали и некоторой горизонтали) равна нулю. Верно ли, что все числа в таблице равны нулю?
Решение:
Ответ: да, верно.
Рассмотрим произвольную строку $i$ с суммой чисел $s_i$; и все «кресты», которые её содержат. Тогда сумма чисел в заштрихованной на рис. части равна $-s_i$, а сумма всех чисел в таблице равна $s_i - ns_i = - (n - 1)s_i$. Отсюда следует, что сумма чисел в каждой строке одна и та же (обозначим её $s$). Аналогично можно показать, что суммы чисел в каждом столбце все одинаковы и равны $s$. Далее, для произвольного «креста», содержащего строку $i$ и столбец $j$ по условию имеем:
$s + s - a_{ij} = 0$,
где $a_{ij}$ - число, стоящее на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца. Следовательно, $a_{ij} = 2s$, т. е. все элементы в таблице равны между собой (обозначим их через $a$). Наконец, рассматривая произвольный «крест», считаем сумму записанных там чисел:
$(2n-1)a = 0$,
значит, $a = 0$.
