Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2675
2019-04-01 
Торт, имеющий форму правильного многоугольника, разрезали по всем диагоналям на маленькие кусочки. Может ли среди них оказаться кусочек, имеющий форму правильного а) треугольника; б) шестиугольника?
Решение:
а) Ответ: да. Рассмотрим правильный девятиугольник и проведём три его диагонали как показано на рис. Можно убедиться, что ни одна из остальных диагоналей не пересекает образовавшийся правильный треугольник.
б) Ответ: нет. Предположим, что в результате разрезания образовался правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $M$ — конец диагонали $AF$, расположенный левее $A, N$ — конец диагонали $CD$, расположенный правее $D$ (рис.). Но тогда диагональ $MN$ пересекает наш шестиугольник. Противоречие.
Торт, имеющий форму правильного многоугольника, разрезали по всем диагоналям на маленькие кусочки. Может ли среди них оказаться кусочек, имеющий форму правильного а) треугольника; б) шестиугольника?
Решение:
а) Ответ: да. Рассмотрим правильный девятиугольник и проведём три его диагонали как показано на рис. Можно убедиться, что ни одна из остальных диагоналей не пересекает образовавшийся правильный треугольник.
б) Ответ: нет. Предположим, что в результате разрезания образовался правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $M$ — конец диагонали $AF$, расположенный левее $A, N$ — конец диагонали $CD$, расположенный правее $D$ (рис.). Но тогда диагональ $MN$ пересекает наш шестиугольник. Противоречие.
