Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 266
2014-06-07 
В правильный шестиугольник вписан параллелограмм, центр симметрии которого совпадает с центром шестиугольника. Доказать что площадь параллелограмма не превосходит 23 площади шестиугольника.
Решение:
Пусть параллелограмм ABCD вписан в правильный шестиугольник М, центр О которого является точкой пересечения диагоналей параллелограмма. Выберем вершины Е и F шестиугольника, лежащие в одной полуплоскости с точкой В относительно прямой OA и удовлетворяющие неравенствам $\angle AOE < 60^{\circ}, \angle AOF < 120^{\circ}$ (рис.; заметим, что этими условиями вершины Е и F определяются однозначно). Тогда имеем
$60^{\circ} \leq \angle AOF < 120^{\circ}$,
так что остальные вершины Е и G шестиугольника (а с ними и точка В), лежащие в этой полуплоскости, удалены от примой АО не дальше вершины F. Поэтому
$S_{AOB} \leq S_{AOF} = S_{EOF}$,
так как точки А и Е лежат на одной стороне шестиугольника, параллельной прямой OF, т. е. равноудалены от этой прямой. Из свойств параллелограмма и правильного пятиугольника вытекают равенства
$S_{AOB} = S_{BOC} = S_{COD} = S_{DOA} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$
и
$S_{EOF} = (1/6) S_{M}$,
следовательно, справедливо неравенство
$(1/4)S_{ABCD} \leq (1/6) S_{M}$,
откуда
$S_{ABCD} < (2/3) S_{M}$,
что и требовалось доказать.
В правильный шестиугольник вписан параллелограмм, центр симметрии которого совпадает с центром шестиугольника. Доказать что площадь параллелограмма не превосходит 23 площади шестиугольника.
Решение:
Пусть параллелограмм ABCD вписан в правильный шестиугольник М, центр О которого является точкой пересечения диагоналей параллелограмма. Выберем вершины Е и F шестиугольника, лежащие в одной полуплоскости с точкой В относительно прямой OA и удовлетворяющие неравенствам $\angle AOE < 60^{\circ}, \angle AOF < 120^{\circ}$ (рис.; заметим, что этими условиями вершины Е и F определяются однозначно). Тогда имеем
$60^{\circ} \leq \angle AOF < 120^{\circ}$,
так что остальные вершины Е и G шестиугольника (а с ними и точка В), лежащие в этой полуплоскости, удалены от примой АО не дальше вершины F. Поэтому
$S_{AOB} \leq S_{AOF} = S_{EOF}$,
так как точки А и Е лежат на одной стороне шестиугольника, параллельной прямой OF, т. е. равноудалены от этой прямой. Из свойств параллелограмма и правильного пятиугольника вытекают равенства
$S_{AOB} = S_{BOC} = S_{COD} = S_{DOA} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$
и
$S_{EOF} = (1/6) S_{M}$,
следовательно, справедливо неравенство
$(1/4)S_{ABCD} \leq (1/6) S_{M}$,
откуда
$S_{ABCD} < (2/3) S_{M}$,
что и требовалось доказать.
