Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2654
2019-04-01 
Из клетчатой доски размером $2^n \times 2^{n}$ клеток ($n \geq 1$) вырезали одну из клеток. Докажите, что оставшуюся часть можно замостить уголками из трёх клеток.
Решение:
База индукции $n = 1$: если из доски $2 \times 2$ удалить клетку, то как раз уголок и останется, и утверждение при $n = 1$ очевидно.
Индукционный переход $n = k \rightarrow n = k + 1$: Рассмотрим доску размером $2^{k+1} \times 2^{k+1}$. Тогда выброшенная клетка принадлежит одной из четырёх частей размера $2k \times 2k$, образованных средними линиями большой доски. Пусть для определённости это правая верхняя часть. Вырежем дополнительно уголок так, как показано на. Тогда окажется, что в каждой из четырёх частей большой доски вырезано по клетке, и можно применить предположение индукции. Замостив каждую из этих частей и вернув на место вырезанный уголок, мы получим искомое замощение большой доски. Теперь, основываясь на принципе математической индукции, можно утверждать, что искомое замощение существует для любой доски вида $2^n \times 2^n$, произвольная клетка которой вырезана.
Из клетчатой доски размером $2^n \times 2^{n}$ клеток ($n \geq 1$) вырезали одну из клеток. Докажите, что оставшуюся часть можно замостить уголками из трёх клеток.
Решение:
База индукции $n = 1$: если из доски $2 \times 2$ удалить клетку, то как раз уголок и останется, и утверждение при $n = 1$ очевидно.
Индукционный переход $n = k \rightarrow n = k + 1$: Рассмотрим доску размером $2^{k+1} \times 2^{k+1}$. Тогда выброшенная клетка принадлежит одной из четырёх частей размера $2k \times 2k$, образованных средними линиями большой доски. Пусть для определённости это правая верхняя часть. Вырежем дополнительно уголок так, как показано на
