Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2653
2019-04-01 
Вы держите один конец очень эластичного резинового шнура длиной 1 м. От второго его конца, который закреплён, к вам со скоростью 1 см/с ползёт жук. Каждый раз, когда он проползает 1 см, вы удлиняете резинку, отступая на 1 метр. Доползёт ли жук до вашей руки?
Решение:
Правильный ответ в этой задаче кажется неправдоподобным, а вопрос нелепым. Ведь мы забываем, что когда резинка мгновенно растягивается, жучок смещается относительно земли. Посмотрим, какую долю $d(n)$ резинки проползёт жук через $n$ секунд:
$d(1) = \frac{1}{100}, d(2) = \frac{1}{100} + \frac{1}{200}, \cdots, d(n) = \frac{1}{100} + \frac{1}{200} + \cdots + \frac{1}{100n}$.
Найдется ли такое $n$, что сумма $d(n)$ превзойдёт 1? (Это и будет означать, что жук прополз всю резинку.) Достаточно сравнить
$1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$ и 100.
Но сумма в левой части может быть сколь угодно большой. Для $n = 2^k$:
$1 + \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ) + \left ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right )+ \cdots + \left ( \frac {1}{2^{k-1} + 1}) + \cdots + \frac{1}{2^k} \right ) > 1 + \underset{k \:раз}{\underline{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2}} } = \frac{k}{2} + 1$.
Ответ: да (теоретически).
Выбрав $k = 200$ и $n = 2^k = 2^{200}$, в частности, получим:
$100d(n) = l + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} > 100$,
т. е. $d(2^{200}) > 1$ и жук доползёт до руки!
Вы держите один конец очень эластичного резинового шнура длиной 1 м. От второго его конца, который закреплён, к вам со скоростью 1 см/с ползёт жук. Каждый раз, когда он проползает 1 см, вы удлиняете резинку, отступая на 1 метр. Доползёт ли жук до вашей руки?
Решение:
Правильный ответ в этой задаче кажется неправдоподобным, а вопрос нелепым. Ведь мы забываем, что когда резинка мгновенно растягивается, жучок смещается относительно земли. Посмотрим, какую долю $d(n)$ резинки проползёт жук через $n$ секунд:
$d(1) = \frac{1}{100}, d(2) = \frac{1}{100} + \frac{1}{200}, \cdots, d(n) = \frac{1}{100} + \frac{1}{200} + \cdots + \frac{1}{100n}$.
Найдется ли такое $n$, что сумма $d(n)$ превзойдёт 1? (Это и будет означать, что жук прополз всю резинку.) Достаточно сравнить
$1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$ и 100.
Но сумма в левой части может быть сколь угодно большой. Для $n = 2^k$:
$1 + \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ) + \left ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right )+ \cdots + \left ( \frac {1}{2^{k-1} + 1}) + \cdots + \frac{1}{2^k} \right ) > 1 + \underset{k \:раз}{\underline{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2}} } = \frac{k}{2} + 1$.
Ответ: да (теоретически).
Выбрав $k = 200$ и $n = 2^k = 2^{200}$, в частности, получим:
$100d(n) = l + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} > 100$,
т. е. $d(2^{200}) > 1$ и жук доползёт до руки!
