Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 265
2014-06-07 
Доказать, что если последовательно соединить середины сторон выпуклого треугольника (где $n \geq 4$), то площадь полученного многоугольника будет не меньше половины площади исходного.
Решение:
Пусть точки $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ являются соответственно серединами сторон $A_{1}A_{2}, A_{2}A_{2}, \cdots, A_{n}A_{1}$ выпуклою n-угольника $A_{1}A_{2} \cdots A_{n}$ площади $S$. Положим $A_{n+1} = A_{1}, A_{n+2} = A_{2}$, тогда любой треугольник
$A_{i}A_{i+1}A_{i+2} (i = 1, \cdots, n)$
не имеет общих внутренних точек ни с одним из других таких треугольников, кроме двух из них, имеющих своей вершиной точку $A_{i+1}$ причем два последних треугольника не имеют общих внутренних точек (рис.). Поэтому любая точка n-треугольника является внутренней не более чем для двух из таких треугольников, откуда имеем
$2S \geq \sum_{i=1}^{n} S_{A_{i}A_{i+1}A_{i+2}}$.
Поскольку каждый отрезок $B_{i}B_{i+1}(B_{n + 1} = B_{1})$ является средней линией треугольника $A_{1}, A_{i+1}A_{i+2}$, то
$S_{B_{i}A_{i+1}B_{i+1}} = \frac{1}{4} S_{A_{i}A_{i+1}A_{i+2}}$,
а значит, справедливы соотношения
$S_{B_{1}B_{2} \cdots B_{n}} = S - \sum_{i=1}^{n} S_{B_{i}A_{i+1}B_{i+1}} =$
$= S - \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} S_{A_{i}A_{i+1}A_{i+2}} \geq S - \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} S$,
из которых вытекает требуемое неравенство.
Доказать, что если последовательно соединить середины сторон выпуклого треугольника (где $n \geq 4$), то площадь полученного многоугольника будет не меньше половины площади исходного.
Решение:
Пусть точки $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ являются соответственно серединами сторон $A_{1}A_{2}, A_{2}A_{2}, \cdots, A_{n}A_{1}$ выпуклою n-угольника $A_{1}A_{2} \cdots A_{n}$ площади $S$. Положим $A_{n+1} = A_{1}, A_{n+2} = A_{2}$, тогда любой треугольник
$A_{i}A_{i+1}A_{i+2} (i = 1, \cdots, n)$
не имеет общих внутренних точек ни с одним из других таких треугольников, кроме двух из них, имеющих своей вершиной точку $A_{i+1}$ причем два последних треугольника не имеют общих внутренних точек (рис.). Поэтому любая точка n-треугольника является внутренней не более чем для двух из таких треугольников, откуда имеем
$2S \geq \sum_{i=1}^{n} S_{A_{i}A_{i+1}A_{i+2}}$.
Поскольку каждый отрезок $B_{i}B_{i+1}(B_{n + 1} = B_{1})$ является средней линией треугольника $A_{1}, A_{i+1}A_{i+2}$, то
$S_{B_{i}A_{i+1}B_{i+1}} = \frac{1}{4} S_{A_{i}A_{i+1}A_{i+2}}$,
а значит, справедливы соотношения
$S_{B_{1}B_{2} \cdots B_{n}} = S - \sum_{i=1}^{n} S_{B_{i}A_{i+1}B_{i+1}} =$
$= S - \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} S_{A_{i}A_{i+1}A_{i+2}} \geq S - \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} S$,
из которых вытекает требуемое неравенство.
