Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2649
2019-04-01 
За круглым столом сидят семь гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает всё своё молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и т. д. После того, как последний, седьмой гном разлил всем остальным своё молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько в ней было вначале. Во всех кружках вместе 3 литра молока. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?
Решение:
Легко показать, что указанные числа служат ответом. Дело в том, что после разливания молока первым гномом (по 1/7 каждому из остальных) получается точно такое же распределение, но со сдвигом на одного гнома, а сумма $\frac{1 + 2 + \cdots + 6}{7}$ как раз равна 3. Осталось доказать, что нет других ответов. Пусть $x$ — наибольшее количество молока, оказавшееся за всё время переливаний у какого-либо гнома $Г$. Тогда после очередного цикла из семи «разливаний» (их можно неограниченно продолжать, так что $Г$ можно считать первым в цикле) у $Г$ накопится не более чем $6 \cdot x/6 = x$ литров молока; причём равенство возможно, лишь если каждый из шести других гномов наливает в кружку $Г$ ровно $x/6$ литров молока. Таким образом, из условия следует, что каждый гном разливает одно и то же количество $x$ молока и после получения $k$ порций у него в кружке налито $kx/6$ литров ($k = 1, 2, \cdots , 6$). Зная из условия, что $\frac {x + 2x + \cdots + 6x}{6} = 7/2 x = 3$, находим единственный ответ.
За круглым столом сидят семь гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает всё своё молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и т. д. После того, как последний, седьмой гном разлил всем остальным своё молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько в ней было вначале. Во всех кружках вместе 3 литра молока. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?
Решение:
Легко показать, что указанные числа служат ответом. Дело в том, что после разливания молока первым гномом (по 1/7 каждому из остальных) получается точно такое же распределение, но со сдвигом на одного гнома, а сумма $\frac{1 + 2 + \cdots + 6}{7}$ как раз равна 3. Осталось доказать, что нет других ответов. Пусть $x$ — наибольшее количество молока, оказавшееся за всё время переливаний у какого-либо гнома $Г$. Тогда после очередного цикла из семи «разливаний» (их можно неограниченно продолжать, так что $Г$ можно считать первым в цикле) у $Г$ накопится не более чем $6 \cdot x/6 = x$ литров молока; причём равенство возможно, лишь если каждый из шести других гномов наливает в кружку $Г$ ровно $x/6$ литров молока. Таким образом, из условия следует, что каждый гном разливает одно и то же количество $x$ молока и после получения $k$ порций у него в кружке налито $kx/6$ литров ($k = 1, 2, \cdots , 6$). Зная из условия, что $\frac {x + 2x + \cdots + 6x}{6} = 7/2 x = 3$, находим единственный ответ.
