ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого (также выпуклого), то периметр внутреннего многоугольника меньше периметра внешнего.


Решение:



Пусть выпуклый многоугольник
$M_{0} = A_{1}A_{2} \cdots A_{n}$
лежит внутри выпуклого многоугольника М. Тогда прямая $A_{1}A_{2}$ делит многоугольник М на две части, одна из которых представляет собой выпуклый многоугольник $M_{1}$, содержащий многоугольник $M_{0}$ (рис.), причем сторона $B_{1}B_{2}$ многоугольника $M_{1}$, содержащая отрезок $A_{1}A_{2}$, не является стороной многоугольника M, откуда имеем $P_{M_{1}} < P_{M}$ (ибо отрезок $B_{1}B_{2}$ короче любой ломаной, соединяющей его концы). Прямая $A_{2}A_{3}$ отсекает от многоугольника $M_{1}$ выпуклый многоугольник $M_{2}$, содержащий многоугольник $M_{0}$, причем $P_{M_{2}} \leq P_{M_{1}}$. Рассуждая подобным образом и далее, получаем последовательность многоугольников
$M \supset M_{1} \supset M_{2} \supset \cdots \supset M_{n}$,
последний из которых совладает с многоугольником $M_{0}$, причем выполнены неравенства
$P_{M} > P_{M_{1}} \geq P_{M_{2}} \geq \cdots \geq P_{M_{n}} = P_{M_{0}}$,
откуда следует требуемое неравенство.