Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2631
2019-03-30 
B основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с площадью, равной $2 м^{2}$, а высота призмы равна гипотенузе основания. Какими должны быть стороны основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?
Решение:
Если катеты основания обозначить через $а$ и $b$, то боковая поверхность призмы равна
$(a+b+ \sqrt {a^2+b^2}) \sqrt {a^2+b^2} = (a+b) \sqrt {a^2 + b^2} + a^2 + b^2$.
Нам известна площадь основания. Поэтому $ab = 4$.
Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только $ab$ и $a+b$:
$(a+b) \sqrt {(a+b)^2 - 2ab} + (a+b)^2 - 2ab = (a+b) \sqrt {(a+b)^2 - 8} + (a+b)^2 - 8$.
Мы получили монотонную функцию от $a+b$. Минимум ее достигается одновременно с минимумом $a+b$. Поскольку $a+b \geq 2 \sqrt {ab} = 4$, то равенство достигается, если $a=b=2$.
Ответ. 2.
B основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с площадью, равной $2 м^{2}$, а высота призмы равна гипотенузе основания. Какими должны быть стороны основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?
Решение:
Если катеты основания обозначить через $а$ и $b$, то боковая поверхность призмы равна
$(a+b+ \sqrt {a^2+b^2}) \sqrt {a^2+b^2} = (a+b) \sqrt {a^2 + b^2} + a^2 + b^2$.
Нам известна площадь основания. Поэтому $ab = 4$.
Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только $ab$ и $a+b$:
$(a+b) \sqrt {(a+b)^2 - 2ab} + (a+b)^2 - 2ab = (a+b) \sqrt {(a+b)^2 - 8} + (a+b)^2 - 8$.
Мы получили монотонную функцию от $a+b$. Минимум ее достигается одновременно с минимумом $a+b$. Поскольку $a+b \geq 2 \sqrt {ab} = 4$, то равенство достигается, если $a=b=2$.
Ответ. 2.
