Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2630
2019-03-30 
B круг радиуса $R$ вписывается данный угол $\alpha$. Какими должны быть длины хорд, образующих этот угол, чтобы их сумма была наибольшей.
Решение:
Если ввести углы $x$ и $y$ (рис.), то по теореме синусов
$AB + BC = 2R (\sin x + \sin y) = 4R \sin \left ( \frac{\pi}{2} - \frac{ \alpha}{2} \right ) \cos \frac{x-y}{2}$.
Максимум этого выражения достигается при $\cos \frac{x-y}{2} = 1$, т. е. при $x-y = 0$. Так как $x+y = \pi - \alpha$, то $x = \frac{\pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$. Следовательно,
$AB = BC = 2R \sin x = 2R \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Ответ. $2R \cos \frac{ \alpha}{2}$.
B круг радиуса $R$ вписывается данный угол $\alpha$. Какими должны быть длины хорд, образующих этот угол, чтобы их сумма была наибольшей.
Решение:
Если ввести углы $x$ и $y$ (рис.), то по теореме синусов
$AB + BC = 2R (\sin x + \sin y) = 4R \sin \left ( \frac{\pi}{2} - \frac{ \alpha}{2} \right ) \cos \frac{x-y}{2}$.
Максимум этого выражения достигается при $\cos \frac{x-y}{2} = 1$, т. е. при $x-y = 0$. Так как $x+y = \pi - \alpha$, то $x = \frac{\pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$. Следовательно,
$AB = BC = 2R \sin x = 2R \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Ответ. $2R \cos \frac{ \alpha}{2}$.
