Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 263
2014-06-07 
Длины $a$ и $b$ двух сторон треугольника удовлетворяют условию $a > b$, а длины соответствующих им высот равны $h_{1}$ и $h_{b}$. Доказать неравенство
$a + h_{1} \geq b + h_{b}$.
Определить, когда достигается равенство.
Решение:
Заметим, что
$2S = ab \sin \gamma \leq ab$,
где $S$ - площадь треугольника, а $\gamma$ - угол между данными сторонами. Поэтому если $a > b$, то
$(a + h_{1}) – (b + h_{b}) = \left ( a + \frac{2S}{a} \right ) - \left ( b+ \frac{2S}{b} \right ) = (a - b) \left ( 1 - \frac{2S}{ab} \right ) \geq 0$,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $2S = ab$, т. е. когда угол между данными сторонами прямой.
Длины $a$ и $b$ двух сторон треугольника удовлетворяют условию $a > b$, а длины соответствующих им высот равны $h_{1}$ и $h_{b}$. Доказать неравенство
$a + h_{1} \geq b + h_{b}$.
Определить, когда достигается равенство.
Решение:
Заметим, что
$2S = ab \sin \gamma \leq ab$,
где $S$ - площадь треугольника, а $\gamma$ - угол между данными сторонами. Поэтому если $a > b$, то
$(a + h_{1}) – (b + h_{b}) = \left ( a + \frac{2S}{a} \right ) - \left ( b+ \frac{2S}{b} \right ) = (a - b) \left ( 1 - \frac{2S}{ab} \right ) \geq 0$,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $2S = ab$, т. е. когда угол между данными сторонами прямой.
