Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2629
2019-03-30 
Найти минимум функции $y = x^7 + \frac{a}{x^7}$, где $x > 0, a > 0$.
Решение:
Заменим $\frac{a}{x}$ на сумму из семи одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $\frac{a}{7x}$. К функции
$x^7 + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x}$
применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Получим
$x^7 + \frac{a}{x} \geq 8 \sqrt [8]{ \frac{a^7}{7^7}}$.
Равенство достигается, когда
$x^7 = \frac{a}{7x} = \sqrt [8]{ \frac{a^7}{7^7}}$, т.е. $x = \sqrt [8]{ \frac{a}{7}}$.
Ответ. $y_{min} = 8 \sqrt [8]{ \frac{a^7}{7^7}}$ при $x = \sqrt [8]{ \frac{a}{7}}$.
Найти минимум функции $y = x^7 + \frac{a}{x^7}$, где $x > 0, a > 0$.
Решение:
Заменим $\frac{a}{x}$ на сумму из семи одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $\frac{a}{7x}$. К функции
$x^7 + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x} + \frac{a}{7x}$
применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Получим
$x^7 + \frac{a}{x} \geq 8 \sqrt [8]{ \frac{a^7}{7^7}}$.
Равенство достигается, когда
$x^7 = \frac{a}{7x} = \sqrt [8]{ \frac{a^7}{7^7}}$, т.е. $x = \sqrt [8]{ \frac{a}{7}}$.
Ответ. $y_{min} = 8 \sqrt [8]{ \frac{a^7}{7^7}}$ при $x = \sqrt [8]{ \frac{a}{7}}$.
