Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2628
2019-03-30 
Найти наименьшее значение выражения $y = |x^2 - 1| + |x^2 - 4| + |x + 2| + |x + 1|$.
Решение:
Tочки $\pm 1$ и $\pm 2$ разбивают числовую ось на пять интервалов, в каждом из которых нетрудно найти наименьшее значение $y$.
а) Если $x \leq -2$, то
$y = x^2 - 1 + x^2 - 4 - x - 2 - x - 1 = 2x^2 - 2x - 8$.
Абсцисса вершины параболы $y = 2x^2 - 2x - 8$ равна $x = - \frac{b}{2a} = \frac{1}{2}$, т. е. при $x \leq -2$ мы находимся левее вершины, функция $y$ на этом участке убывает, а потому наименьшее значение она принимает в самой правой точке интервала: $x = -2, y = 4$.
б) Если $-2 \leq x \leq -1$, то легко проверить, что $y = 4$.
в) Если $-1 \leq x \leq 1$, то
$y = -2x^2 + 2x + 8$.
Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее значение нужно искать на концах интервала: при $x = -1$ мы уже видели, что $y = 4$; при $x = 1, y = 8$.
г) Если $1 \leq x \leq 2$ то $y = 2x + 6$. Наименьшим будет значение в точке $x=1$.
д) Если $x \geq 2$, то
$y = 2x^2 + 2x - 2$.
Абсцисса вершины этой параболы $x = - \frac{1}{2}$; она лежит левее точки $x = 2$. Следовательно, наименьшее значение достигается при $x = 2$, т. е. $y = 10$.
Ответ. $y_{min} = 4$ при $-2 \leq x \leq -1$.
Найти наименьшее значение выражения $y = |x^2 - 1| + |x^2 - 4| + |x + 2| + |x + 1|$.
Решение:
Tочки $\pm 1$ и $\pm 2$ разбивают числовую ось на пять интервалов, в каждом из которых нетрудно найти наименьшее значение $y$.
а) Если $x \leq -2$, то
$y = x^2 - 1 + x^2 - 4 - x - 2 - x - 1 = 2x^2 - 2x - 8$.
Абсцисса вершины параболы $y = 2x^2 - 2x - 8$ равна $x = - \frac{b}{2a} = \frac{1}{2}$, т. е. при $x \leq -2$ мы находимся левее вершины, функция $y$ на этом участке убывает, а потому наименьшее значение она принимает в самой правой точке интервала: $x = -2, y = 4$.
б) Если $-2 \leq x \leq -1$, то легко проверить, что $y = 4$.
в) Если $-1 \leq x \leq 1$, то
$y = -2x^2 + 2x + 8$.
Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее значение нужно искать на концах интервала: при $x = -1$ мы уже видели, что $y = 4$; при $x = 1, y = 8$.
г) Если $1 \leq x \leq 2$ то $y = 2x + 6$. Наименьшим будет значение в точке $x=1$.
д) Если $x \geq 2$, то
$y = 2x^2 + 2x - 2$.
Абсцисса вершины этой параболы $x = - \frac{1}{2}$; она лежит левее точки $x = 2$. Следовательно, наименьшее значение достигается при $x = 2$, т. е. $y = 10$.
Ответ. $y_{min} = 4$ при $-2 \leq x \leq -1$.
